integraal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 4.629

integraal

bepaalde integraal.png
bepaalde integraal.png (1.98 KiB) 5352 keer bekeken
Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: integraal

Heb je al geprobeerd hem op te spitsen via:

ln(a/b) = ln a - ln b

?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.629

Re: integraal

Ja, bijvoorbeeld met substitutie x=3y en aanpassing van de integratiegrenzen.
substitutie.png
substitutie.png (7.35 KiB) 5273 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: integraal

dy/y = ln y

Gebruikersavatar
Berichten: 2.488

Re: integraal

Misschien reeksontwikkeling van de ln rond 1?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.629

Re: integraal

tempelier schreef: wo 01 feb 2023, 13:09 dy/y = ln y
Dit levert een expressie met dilog op
expressie met dilog.png
de numerieke oplossing ervan is ≈0,60347.... dus dat klop wel

Gebruikersavatar
Berichten: 2.488

Re: integraal

Je hebt via reeksontwikkeling

$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

,dus

$$\ln(1+9y^4) = 9y^4-\frac{9^2y^8}{2}+\frac{9^3y^{12}}{3}-\frac{9^4y^{16}}{4}+\cdots$$
en
$$\ln(1+y^2) = y^2-\frac{y^4}{2}+\frac{y^{6}}{3}-\frac{y^{8}}{4}+\cdots$$

$$\frac{\ln(1+9y^4) - \ln(1+y^2)}{y}=-y + \frac{17}{2}y^3-\frac{1}{3}y^5-\frac{191}{4}y^7+...$$

Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.

Berichten: 4.068

Re: integraal

ukster schreef: di 31 jan 2023, 19:52 bepaalde integraal.png
Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?
is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.629

Re: integraal

wnvl1 schreef: wo 01 feb 2023, 20:52 Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.
Ik verwacht ook niet dat hiermee de exacte oplossing 1/2(ln(3))2 er uitrolt.
HansH schreef: wo 01 feb 2023, 21:53 is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?
Kan niet. De complete ln-uitdrukking wordt gedeeld door x

Overigens hebben W.Janous en S.Jason het probleem gegeneraliseerd met het volgende bewijs:
bepaalde integraal.png
bepaalde integraal.png (3.23 KiB) 5162 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 2.488

Re: integraal

Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.629

Re: integraal

wnvl1 schreef: wo 01 feb 2023, 22:39 Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?
Op het net heb ik dat bewijs (nog) niet kunnen vinden.
Die dilogexpressie geeft de numerieke oplossing.

ik had gedacht de exacte oplossing te vinden door substitutie(s)

Gebruikersavatar
Berichten: 4.629

Re: integraal

Ik stel me zo voor dat door het toepassen van nog een (slimme) substitutie het probleem wordt opgedeeld in bijvoorbeeld drie integralen waarvan er één het exacte resultaat oplevert en de som van de andere twee nul is.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.488

Re: integraal

Dikwijls zit er in dat soort van puzzels ook een symmetrie waardoor er dingen wegvallen. Die symmetrie komt dan vaak naar boven door de juiste substitutie.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.607

Re: integraal

Helpt dit (via staartdeling):

$$\log\left( \frac{x^4+9}{x^2+9} \right)= \log \left( \frac{(x^2+9)(x^2-9)+90 }{x^2+9} \right) = \log \left( \frac{a+90 }{a} \right) $$

Late avond post dus foutjes kunnen erin zitten. En dan integration by parts?

mmm. foutje ingeslopen te laat om te repareren en geen edit tijd meer :(. Net edit gedaan weet niet of klopt. Snel checken op papier.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.488

Re: integraal

\(x^2-9 + \frac{90}{x^2+9}\)

Maar ik betwijfel dat het helpt.

Reageer