omtrek ellips berekenen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.550

omtrek ellips berekenen

img409.jpg

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.690

Re: omtrek ellips berekenen

\(-1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2}=-\frac{c^2}{a^2}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.550

Re: omtrek ellips berekenen

img410.jpg

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.690

Re: omtrek ellips berekenen

Kijk er nog maar eens goed naar.

Berichten: 3.690

Re: omtrek ellips berekenen

een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen

Gebruikersavatar
Berichten: 2.179

Re: omtrek ellips berekenen

HansH schreef: za 25 nov 2023, 00:00 een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen
Het gaat hier om de omtrek. Maar dat buiten beschouwing gelaten, ben ik wel nieuwsgierig hoe de formule er dan zomaar uitrolt...

Gebruikersavatar
Berichten: 4.264

Re: omtrek ellips berekenen

HansH schreef: za 25 nov 2023, 00:00 een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen
De oppervlakte van een ellips is al heel bekend: \(\pi ab\)

Voor de omtrek is er zoiets eenvoudigs niet, daar zit men vast aan de elliptische integralen.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.690

Re: omtrek ellips berekenen

Zoals Tempelier al schrijft, er is geen eenvoudige formule voor de omtrek van een ellips.
Hier één van de vele benaderingsformules voor die omtrek, afkomstig van Ramanujan (één van de vele die hij bedacht)
\(O=\pi(3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)})\)
Zie bijvoorbeeld hier.

Dit is natuurlijk geen oplossing voor de vraag van aadkr.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.179

Re: omtrek ellips berekenen

HansH schreef: za 25 nov 2023, 00:00 een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen
Bij uitbreiding vraag ik mij af of het voor de oppervlakte dan wel lukt. Als je weet hoe een cirkel transformeert in een ellips, kan je dan op een eenvoudige manier de formule voor de oppervlakte van een ellips afleiden uit de oppervlakte van een cirkel. Ik zou denken dat je nog altijd een integraal moet opstellen en oplossen.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.690

Re: omtrek ellips berekenen

wnvl1 schreef: za 25 nov 2023, 16:41 Bij uitbreiding vraag ik mij af of het voor de oppervlakte dan wel lukt. Als je weet hoe een cirkel transformeert in een ellips, kan je dan op een eenvoudige manier de formule voor de oppervlakte van een ellips afleiden uit de oppervlakte van een cirkel. Ik zou denken dat je nog altijd een integraal moet opstellen en oplossen.
Een ellips is een cirkel die in één richting is uitgerekt of samengeperst. Waar een cirkel een ellips is met gelijke lange en korte halve as (a=r, b=r), zijn die niet gelijk bij een ellips. Vandaar \(A=\pi a b\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.179

Re: omtrek ellips berekenen

Vraag was of je die \(\pi ab\) kan afleiden uit \(\pi r^2\) uitgaande van de formule om een cirkel te transformeren in een ellips.

De vergelijking van een cirkel is

$$x^2 + y^2 =c^2$$

Ik transformeer de cirkel in

$$x^2/a^2 + y^2/b^2 =c^2$$

Kan ik op basis van de transformatie die gedaan wordt (x'=ax en y'=by), de formule afleiden voor de oppervlakte van een ellips zonder de klassieke integraal voor de oppervlakte van een ellips uit te rekenen zoals iedereen die op school klassiek aangeleerd krijgt? Ik ben geneigd te denken van niet.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.690

Re: omtrek ellips berekenen

Als je een figuur in een plat vlak in één richting met een bepaalde factor uitrekt ("rek" mag ook kleiner dan 1 zijn), dan verandert het oppervlak met diezelfde factor.

Berichten: 3.690

Re: omtrek ellips berekenen

wnvl1 schreef: za 25 nov 2023, 17:09 Vraag was of je die \(\pi ab\) kan afleiden uit \(\pi r^2\) uitgaande van de formule om een cirkel te transformeren in een ellips.
Kan ik op basis van de transformatie die gedaan wordt (x'=ax en y'=by), de formule afleiden voor de oppervlakte van een ellips zonder de klassieke integraal voor de oppervlakte van een ellips uit te rekenen zoals iedereen die op school klassiek aangeleerd krijgt? Ik ben geneigd te denken van niet.
je kunt volgens mij de cirkel samengesteld denken uit een oneindig aantal rechthoekjes met afmeting x en y. het oppervlak daarvan is xy. als je nu in x en y richting uitrekt of krimpt met factor a en b dan heeft elk rechthoekje een oppervlak abxy dus het tolale oppervlak van de ellips is dan ook ab keer zo groot als het oppervlak van de cirkel.
Laatst gewijzigd door HansH op za 25 nov 2023, 21:36, 2 keer totaal gewijzigd.

Berichten: 3.690

Re: omtrek ellips berekenen

voor de omtrek kun je dat niet zo doen omdat de omtrek van zo'n rechthoekje gelijk is aan 2(ax+by) en dus niet voor elke x en y dezelfde schaling geeft. De schaling van de omtrek is dus afhankelijk van de vorm. Dat is dus bij een ellips ook zo en dus niet en simpele oplossing.

Berichten: 3.690

Re: omtrek ellips berekenen

aadkr schreef: do 23 nov 2023, 21:39img409.jpg
dat 1-b^2/a^2 gelijk is aan (a^2-b^2)/a^2 is simpel te begrijpen door 1 te schrijven als a^2/a^2 en dan alles samen te nemen. voor mij lijkt het echter dat ze een paar stappen overslaan door a^2-b^2 te vervangen door c^2 en dan te stellen dat c/a de excentriciteit is. Dat is voor mij niet te volgen.

Reageer