Hoekenvraag

[Bartjes]

Al doende stoot je op allerlei vragen. Zie het onderstaande tekeningetje:

Hoekenvraag.JPG (7.54 KiB) 520 keer bekeken

Wat is hier

\(\gamma\)

? Stel dat over

\(\alpha\)

en

\(\beta \)

zo goed als niets bekend is (ze mogen dus ook negatief zijn), mag je dan zonder meer aannemen dat:

\( \gamma = \alpha + \beta \)

.

Of kan de tegengestelde pijl-richting in bepaalde gevallen roet in het eten gooien?

[TD]

Tja, dat is een kwestie van conventie en niet iedereen maakt dezelfde spraken. Staan de letters voor de 'hoek' met inbegrip van de zin? Of staan ze alleen voor een positief maatgetal van de aangeduide hoek?

Door de expliciete aanduiding van de zin met het pijltje, zou ik hier eerder zeggen dat γ = α - β.

[Bartjes]

@ TD

Is daar ergens een grondige uitleg over te vinden, waarbij ook lastige gevallen zoals hier aan de orde komen? Mijn bedoeling met het pijltje is inderdaad om ervoor te zorgen dat de gevonden formules ook voor negatieve hoeken geldig blijven.

En dat is nog zoiets: tekeningen geven altijd maar één situatie aan, hoe algemeen je het ook probeert voor te stellen. Hoe weet ik dat de afleidingen geldig blijven als er bijvoorbeeld hoeken van teken veranderen? Aan de andere kant: zonder schetsje weet ik helemaal niet meer waar ik het over heb.

[TD]

Gewoonlijk spreekt men af dat een hoek positief is wanneer de zin in tegenwijzerzin is, negatief voor wijzerzin. In bovenstaand voorbeeld zou dat dus (met een schatting als voorbeeld) geven: α = 25°, β = -25° zodat γ = α - β = 50°.

[Bartjes]

De tekening waar het om ging heb ik hieronder weergegeven:

Probeersel.JPG (17.01 KiB) 521 keer bekeken

Wat ik wilde doen was

\(\overrightarrow{e_{\theta}}\)

uitdrukken in

\(\overrightarrow{e_1}\)

en

\(\overrightarrow{e_2}\)

met behulp van de hoek ? . Laten we die hoek voor het gemak

\( \alpha \)

noemen. Eerst dacht ik dat je

\( \alpha \)

gewoon positief kon nemen, maar daarna begon ik te twijfelen. Als ik het goed begrepen heb moet het dus zo:

\( \pi = \theta + (-\alpha) \)

,

\( \alpha = \theta - \pi \)

.

Maar waar vinden we in de tekening dan de sinus en de cosinus van die "verkeerd gerichte" hoek? Is het wellicht het beste direct met de sinus en de cosinus in de eenheidscirkel te werken en gewoon te schrijven:

\( \overrightarrow{e_{\theta}} = \cos \theta \, . \, \overrightarrow{e_1} \, +\, \sin \theta \, . \, \overrightarrow{e_2} \)

?