is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

[tuander]

Je een voorstelling maken van een oneindig dun iets is altijd lastig. We leven in een reële wereld gemaakt van objecten. Objecten zijn nooit perfect glad. Op atomair niveau zijn ze altijd nog bobbelig. Dus ook de overgang van bijvoorbeeld een perfect stil wateroppervlak naar de bovenliggende lucht is nooit perfect vlak, en ook nooit helemaal goed te definiëren.
 
Een vel papier is geen plat vlak, zelfs het oppervlak van het papier is geen plat vlak. Een computerscherm is geen plat vlak. Een lijn op een computerscherm bestaat uit rechthoekige pixels, en is geen gladde rechte lijn.
 
En, Ja, ik ben inderdaad bezig om de betekenis van een lijn te herzien. Om me er een genuanceerder beeld van te vormen in ieder geval. Ik besef nu beter dat je niet zomaar een waarde aan een vlak, lijn of punt mag 'vastplakken'. Bijvoorbeeld massa toekennen.

[Marko]

Je een voorstelling maken van een oneindig dun iets is altijd lastig. We leven in een reële wereld gemaakt van objecten. Objecten zijn nooit perfect glad. Op atomair niveau zijn ze altijd nog bobbelig. Dus ook de overgang van bijvoorbeeld een perfect stil wateroppervlak naar de bovenliggende lucht is nooit perfect vlak, en ook nooit helemaal goed te definiëren.

 
Je stelde je vraag in het subforum wiskunde, en vraagt naar het snijpunt tussen 2 lijnen. Wiskundig zijn lijnen prima te definiëren, en het snijpunt ertussen ook. Daar is geen voorstellingsvermogen voor nodig.

[tempelier]

Je zoekt maar iets dat er niet is.
 
De wiskunde geeft geen beschrijving van de werkelijkheid.
(De wiskunde heeft de werkelijkheid niet nodig)
 
Wel probeert men wiskundige modellen de werkelijkheid zo goed als mogelijk te beschrijven.

[tuander]

 
Wiskundig zijn lijnen prima te definiëren, en het snijpunt ertussen ook. Daar is geen voorstellingsvermogen voor nodig.

 
Ja, ik ben misschien ook nogal dom dat ik me er toch een voorstelling van maak in mijn hoofd. Ruimtelijk inzicht is zo moeilijk uit te zetten.
 

De wiskunde geeft geen beschrijving van de werkelijkheid.
(De wiskunde heeft de werkelijkheid niet nodig)
 
Wel probeert men wiskundige modellen de werkelijkheid zo goed als mogelijk te beschrijven.

 
Dat is mooi verwoord. Hooguit kan ik toevoegen dat de werkelijkheid de wiskunde ook niet nodig heeft om te bestaan. 
 
Met dat 'zo goed als mogelijk te beschrijven' sla je de spijker precies op de kop. Dat is hier ook het probleem. De vertaalslag tussen wiskundige formules en de werkelijkheid.
 
Ik probeer me nog een keer zo goed mogelijk een plat vlak voor te stellen in de werkelijke wereld; zeg maar weer de grens tussen een spiegelglad wateroppervlak en de lucht er boven. Je kunt misschien een wiskundige formule opstellen voor dit grensvlak (een benadering). Dingen aan de ene kant van dit vlak behoren dan tot 'het water', dingen aan de andere kant van dit vlak behoren dan tot 'de lucht'. Het vlak zelf bestaat niet, er bevinden zich geen dingen in het grensvlak. Het grensvlak heeft geen afmetingen. Dat wil zeggen, geen driedimensionale afmetingen. Want het vlak heeft geen dikte.
 
Het vlak wordt puur gebruikt om coördinaten af te bakenen. Je mag er echter geen andere waarden aan vast plakken, je mag bijvoorbeeld geen massa toedichten aan dit grensvlak tussen water en lucht. Dan ontstaat er teveel discrepantie tussen wiskunde en werkelijkheid.
 
Er bevinden zich ook geen massadeeltjes in dit vlak. Je mag wel massa toedichten aan de driedimensionale ruimte tussen (een aantal) vlakken. Ruimte afgebakend door een aantal vlakken kan wel massadeeltjes bevatten. Je moet hierbij dan wel uitkijken dat de coördinaten van het grensvlak niet dezelfde kunnen zijn als de coördinaten van een paar toevallig aanwezige massadeeltjes. Om dit te waarborgen is het misschien aan te bevelen om aparte assenstelsels te gebruiken voor coördinaten van de grensvlakken en voor de massadeeltjes, dusdanig dat massadeeltjes zich nooit precies op een grensvlak kunnen bevinden.
 
Maar in ieder geval is het goed om je bewust te zijn van de manieren waarop het mis kan gaan. Om te beseffen dat je een wiskundig model kan maken dat op zich goed functioneert, maar dat toch slecht overeenstemt met de werkelijke wereld, slechte uitkomsten geeft. Ingenieurs en wetenschappers moeten zich hier goed van bewust zijn. Ik hoop dat dit topic dan ook niet alleen voor mij een beter inzicht oplevert, maar dat meer mensen er iets aan hebben.

[tuander]

Maar, ik ben wel een pietje precies. Is er eigenlijk ook een bezwaar om snijpunten van lijnen met dikte 0 ook de verhouding sin β : sin α mee te geven voor hun oppervlak?
 
Ik vraag dit omdat deze verhouding wel geldt voor elke lijn met enige dikte. Leidt het tot praktische bezwaren in de wiskunde om dit af te spreken?
 
0*sin β : 0*sin α ?
 
0:0 is natuurlijk een singulariteit, er kan geen uitspraak meer gedaan worden over de uitkomst. Maar, is dat niet eigenlijk prima?
 
edit: pietje precies moet natuurlijk zeggen {0*0/sin β} : {0*0/sin α}

[Marko]

Ja, ik ben misschien ook nogal dom dat ik me er toch een voorstelling van maak in mijn hoofd. Ruimtelijk inzicht is zo moeilijk uit te zetten.

 

Maar dan bestaat het probleem toch vooral daarin, dat jouw ruimtelijk inzicht alleen strepen toestaat. Het bespreken van persoonlijke medische problemen is op dit forum echter niet de bedoeling.

 

Met dat 'zo goed als mogelijk te beschrijven' sla je de spijker precies op de kop. Dat is hier ook het probleem. De vertaalslag tussen wiskundige formules en de werkelijkheid.

Nee, dat is niet het probleem. Je doet net alsof iedereen over het hoofd ziet dat reële objecten niet voldoen aan de geïdealiseerde wiskundige beschrijving. De realiteit is dat wetenschappers, zowel wiskundigen als natuurkundigen, dat prima weten. Die zijn zich ervan bewust dat de wiskundige beschrijving een benadering van de werkelijkheid is die maar ten dele opgaat. Maar ze weten ook dat dat geen enkel probleem is zolang het verschil tussen de geïdealiseerde beschrijving en de werkelijkheid zodanig klein is dat de afwijkingen die daardoor ontstaan kleiner zijn dan de afwijkingen die ontstaan door onnauwkeurigheden in de meting. Men is niet op zoek naar een perfecte beschrijving, men is op zoek naar een bruikbare beschrijving. En die ontstaat door de werkelijkheid zo nauwkeurig als nodig te beschrijven. Wiskunde is daarvoor een uiterst nuttig gereedschap gebleken.

[mathfreak]

 

Maar dan bestaat het probleem toch vooral daarin, dat jouw ruimtelijk inzicht alleen strepen toestaat. Het bespreken van persoonlijke medische problemen is op dit forum echter niet de bedoeling.

Ho even. Naar mijn idee speelt hier iets heel anders, namelijk het misplaatste idee dat een afbeelding van een punt of een lijn overeenkomt met het abstracte begrip punt of lijn zelf.

[tuander]

Ik vind het fijn dat jullie geïnteresseerd zijn in dit onderwerp. Aan Marko wil ik wel graag vragen om een beetje meer respectvol te posten, het naar mijn hoofd gooien van het verwijt dat mijn ruimtelijk inzicht een 'medisch probleem' zou zijn vind ik niet zo beschaafd. Laat dat in het vervolg Marko
 
Mijn ruimtelijk inzicht is overigens excellent, daar hoeft niemand zich zorgen over te maken.
 
Ik wil jullie graag de tijd geven om wat dieper na te denken. Voor de mensen die echt begrijpen waar het hier om gaat heb ik een vraag klaar liggen:
 
of we een lijn beschouwen als oneindig dun, of dat we een lijn beschouwen als een object met dikte 0?
 
Dit is een zeer subtiel verschil, met een wezenlijk verschillende uitkomst als het gaat over de oppervlakken van de snijpunten. Verder verwijs ik graag terug naar mijn vraag in post #20. Ik wil die graag beantwoord hebben. Ik zal de vraag iets herformuleren:
 
is het wiskundig gezien een probleem om oppevlakken van snijpunten van (oneindig) dunne lijnen hetzelfde te berekenen als snijpunten van lijnen met dikte 0? Kan de verhouding van sin β/ sin α ook gebruikt worden voor snijpunten met oppervlak 0? 0=0 is toch geen probleem, en het zou het leven een stuk overzichtelijker maken.
 
(dat er emotionele bezwaren zijn snap ik wel, vind ik niet zo relevant, maar ik vraag hier expliciet naar wiskundige bezwaren)

[Marko]

Ik vind het fijn dat jullie geïnteresseerd zijn in dit onderwerp. Aan Marko wil ik wel graag vragen om een beetje meer respectvol te posten, het naar mijn hoofd gooien van het verwijt dat mijn ruimtelijk inzicht een 'medisch probleem' zou zijn vind ik niet zo beschaafd. Laat dat in het vervolg Marko

Je zegt zelf dat er een probleem is. Het probleem zit echter niet in de wiskunde. Dus waar dan wel...

Heb een beetje respect voor de wiskunde, de wetenschap, en dit forum. Ga ajb niet zitten trollen, dat soort volk heeft het hier al meer dan genoeg verpest.

[mathfreak]

of we een lijn beschouwen als oneindig dun, of dat we een lijn beschouwen als een object met dikte 0?

Een lijn wordt in de wiskunde altijd als een object met dikte 0 beschouwd. Een punt heeft altijd een lengte nul, dus is de oppervlakte van een punt ook nul.
 

Kan de verhouding van sin β/ sin α ook gebruikt worden voor snijpunten met oppervlak 0?

Vertel eerst maar eens waar deze verhouding volgens jou precies betrekking op heeft. Volledigheidshalve wil ik je er nogmaals op wijzen dat een afbeelding van een punt of een lijn alleen maar een visualisatie van  het abstracte begrip punt of lijn is. Een plaatje suggereert misschien dat een punt of een lijn een bepaalde dikte ongelijk aan nul heeft, maar dat is dus niet zo.

[tuander]

Deze verhouding heeft betrekking op twee snijpunten in een plat vlak van lijnen met dikte d. ( d≥0 ). De verhouding geldt voor het oppervlak van deze twee snijpunten. Zie vooral post 14 van dit topic.

De verhouding geldt niet voor het oppervlak van gemeenschappelijke snijpunten van meer dan twee lijnen, als drie lijnen (met dikte d≥0)  elkaar kruisen in 1 punt

[Marko]

Deze verhouding heeft betrekking op twee snijpunten in een plat vlak van lijnen met dikte d. ( d≥0 ).

Lijnen hebben geen dikte.

[tuander]

Dank voor de definitie voor de dikte van een wiskundige lijn. Ik kan er wel mee uit de voeten. Het is dus met deze definitie van een wiskundige lijn geen enkel probleem om de verhouding van oppervlakken van twee snijpunten te schrijven in de door mij voorgestelde vorm. Ik lees ook niet de wiskundige bezwaren waar ik naar gevraagd had. Dus dan zijn wij in ieder geval akkoord neem ik aan, tenzij iemand nog een goed wiskundig bezwaar kan opwerpen.
 
voor een wiskundige lijn geldt de vorm: 0= 0 * sin α/sin β
Voor een lijn in de werkelijke wereld geldt de vorm: (oppervlak snijpunt B) = (oppervlak snijpunt A) * sin α/sin β
 
Dank voor de medewerking, het was zeer leerzaam

[mathfreak]

Voor een lijn in de werkelijke wereld

Een lijn is een wiskundig begrip dat alleen kan bestaan binnen de wiskundige context waarin dat begrip wordt omschreven, maar niet daarbuiten. In de werkelijke wereld bestaan dus geen lijnen. 

[Professor Puntje]

@ tuander
 
Het is niet zo dat wanneer je geen wiskundige bezwaren hoort, dat die er dan ook niet zijn. Het kan ook gebeuren dat je critici de strijd al hebben opgegeven omdat je hun kritiek niet serieus neemt.
 
We kunnen strepen (géén lijnen want dat woord is al bezet!) een infinitesimale dikte (dus niet nul) geven. Er zijn namelijk uitbreidingen R* van R die infinitesimaal kleine getallen bevatten. In (R*)² kun je strepen met een infinitesimale dikte dan representeren als een zeker type deelverzamelingen van (R*)². Zo kun je dan een analytische meetkunde van de gezochte soort opbouwen.