Complexe oplossingen

Moderator: dirkwb

Berichten: 29

Complexe oplossingen

Ik ben op zoek naar de oplossing van volgende vraag.....

Bereken alle complexe oplossingen en lijst deze op (z^4 - 4) * (z^4 + 4) = 0

Oplossing:

z^8 - 16 = 0
z^8 = 16
z = 8√16

z1 = -√2 en z2 = √2

Klopt dit en is dit volledig?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 2.771

Re: Complexe oplossingen

Helaas niet.
Je hebt een vergelijking van de achtste graad dus heeft die acht oplossingen in het rijk der complexe getallen.
 
Je hebt nu net alleen de reële oplossingen gevonden.
 
Er zijn verschillende manieren om de anderen te vinden.
 
Met De Moivre.
 
Teken in de eenheidscirkel (wat eigenlijk het zelfde is)
 
Los de eerste vorm anders op.
 
==============
 
Mijn probleem is dat ik niet weet welke kennis je al hebt.
 
Dus welke van de drie denk je aan te kunnen?
De derde manier kan met middelbare schoolkennis.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

Eeeeuh De kennis is op een laag pitje..... Het is bijna 18 jaar geleden van de schoolbanken en ik wou het proberen wat op te frissen..... :p
 
Uw 2 manieren zeggen mij maar weinig....  :oops:
 
Zou het kunnen dat dit ook een oplossing is?
 
(-√2, -1 - i, -1 + i,  -√2i, -√2i, 1 - i, 1 + i, √2)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.771

Re: Complexe oplossingen

Ha.
Ik dacht eigenlijk dat u een student was.
 
Maar die oplossingen zijn goed, hoe bent u er aan gekomen?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe oplossingen

Freek007 schreef: Eeeeuh De kennis is op een laag pitje..... Het is bijna 18 jaar geleden van de schoolbanken en ik wou het proberen wat op te frissen..... :P
 
Uw 2 manieren zeggen mij maar weinig....  :oops:
 
Zou het kunnen dat dit ook een oplossing is?
 
(-√2, -1 - i, -1 + i,  -√2i, -√2i, 1 - i, 1 + i, √2)
 
 
Je kan dat nagaan door deze opl te tekenen in het complexe vlak op de cirkel (O, √2)

Berichten: 6.982

Re: Complexe oplossingen

Kijk hier eens naar:
\(z = r e^{i \phi} \mbox{ met } 0 \leq \phi < 2 \pi\)
\(z^8 = r^8 e^{i 8 \phi} = r^8 \left( \cos(8 \phi) + i \sin(8 \phi)\right) = 16\)
'16' heeft geen imaginaire component, dus moet gelden:
\(\sin(8 \phi) = 0\)
Als je hier de oplossingen voor kunt vinden dan kun je daaruit de oplossingen voor z vinden.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.771

Re: Complexe oplossingen

Safe schreef:  
 
Je kan dat nagaan door deze opl te tekenen in het complexe vlak op de cirkel (O, √2)
Die methode staat in mijn lijstje maar daar heeft de vragen steller kennelijk geen kennis van.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Ha.
Ik dacht eigenlijk dat u een student was.
 
Maar die oplossingen zijn goed, hoe bent u er aan gekomen?
 
Ik heb het eigenlijk gevonden via een app.... Ik zou het nu niet meer weten hoe ik er moet aankomen... :p
Safe schreef:  
 
Je kan dat nagaan door deze opl te tekenen in het complexe vlak op de cirkel (O, √2)
 
Ik zal er beter eens een cursus complexe getallen bijnemen, want heb hier den indruk dat het allemaal veel te ver zit.....  :oops:  (weet niet wat ge juist bedoelt.....


Gebruikersavatar
Berichten: 2.771

Re: Complexe oplossingen

Oke
 
Freek007 schreef:  
Ik heb het eigenlijk gevonden via een app.... Ik zou het nu niet meer weten hoe ik er moet aankomen... :P

 
Ik zal er beter eens een cursus complexe getallen bijnemen, want heb hier den indruk dat het allemaal veel te ver zit.....  :oops:  (weet niet wat ge juist bedoelt.....
Oke hoor.
 
We pakken de eerste vergelijking en gaan de twee leden verder ontbinden.
 
Dus we pakken eerst:
 
\(z^4-4=z^4-2^2=(z^2-2)(z^2+2)=0\)
 
Dit geeft:
 
\(z^2-2=0\)
 
Dit geeft de twee oplossingen die u al had.
 
Is het tot zover duidelijk?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Oke
 
Oke hoor.
 
We pakken de eerste vergelijking en gaan de twee leden verder ontbinden.
 
Dus we pakken eerst:
 
\(z^4-4=z^4-2^2=(z^2-2)(z^2+2)=0\)
 
Dit geeft:
 
\(z^2-2=0\)
 
Dit geeft de twee oplossingen die u al had.
 
Is het tot zover duidelijk?
ja  :)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.771

Re: Complexe oplossingen

Goed dan gaan we verder:
 
Er volgt ook:
 
\(z^2+2=z^2+(\sqrt{2})^2=0\)
 
Kun je hier de twee complexe oplossingen van zien?
tempelier schreef: Goed dan gaan we verder:
 
Er volgt ook:
 
\(z^2+2=z^2+(\sqrt{2})^2=0\)
 
Kunt u hier de twee complexe oplossingen van zien?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Goed dan gaan we verder:
 
Er volgt ook:
 
\(z^2+2=z^2+(\sqrt{2})^2=0\)
 
Kun je hier de twee complexe oplossingen van zien?
Nu zo direct zie ik het niet.... :(
tempelier schreef: Goed dan gaan we verder:
 
Er volgt ook:
 
\(z^2+2=z^2+(\sqrt{2})^2=0\)
 
Kun je hier de twee complexe oplossingen van zien?
Was eens aan 't zoeken of en hoe ik er mijn imaginair deel (i) kon toevoegen... Nu zo direct zie ik het niet....  :(

Gebruikersavatar
Berichten: 2.771

Re: Complexe oplossingen

Dat heb je na zo'n lange tijd. :D
 
we nemen eerst iets eenvoudigers
 
\(z^2+1^2=0\)
 
dit geeft:
 
\(z^2=-1\)
 
Dit moet te doen zijn lijkt me.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Dat heb je na zo'n lange tijd. :D
 
we nemen eerst iets eenvoudigers
 
\(z^2+1^2=0\)
 
dit geeft:
 
\(z^2=-1\)
 
Dit moet te doen zijn lijkt me.
z^2=-1 => z^2=i²  => z=i
Is dit goed?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.771

Re: Complexe oplossingen

Het is half goed.
 
dit is waar:
 
\(z^2=i^2\)
 
maar dit is ook waar:
 
\(z^2=(-i)^2\)
 
Er zijn zus twee oplossingen i en -i
 
Als u dit door hebt gaan we terug naar de echt vorm.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Reageer