Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Berichten: 58

Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Kan iemand me helpen met het volgende.

Ik moet de cartesische vergelijking van een vlak bepalen met de volgende gegevens.
P(4,-3,2) en het vlak is loodrecht op de snijlijn van x-y+2z-3=0 en 2x-y-3z=0.

Nu dacht ik dat de vergelijking van die snijlijn de normaalvector van het vlak is dat je moet bepalen. Vermits je rekening houdt met de lengte hiervan omdat een normaalvector eigenlijk een eenheidsvector is. Het bepalen van de vergelijking van het vlak lukt moest ik dit hebben maar ik loop vast met het bepalen van de snijlijn.

Ik ga ervan uit dat ik beide vlakken samen moet nemen of tenminste iets met moet doen om de snijlijn te bepalen maar ik vind het niet.

Kan iemand me in de juiste richting duwen?
Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Je kan het op meerdere manieren aanpakken, de een al wat sneller dan de ander, maar het volstaat inderdaad dat je van de rechte, die als snijlijn van twee vlakken gegeven is, een richtingsvector vindt. Die richtingsvector gebruik je dan als normaalvector van het gezochte vlak, dat samen met het gegeven punt uniek bepaald is. Die normaalvector hoeft geen eenheidsvector te zijn.

Een paar opties:
- de rechte is gegeven als stelsel van twee vergelijkingen (vlakken): los dit stelsel op want in parametervorm kan je de richtingsvector dan gewoon aflezen;
- lees van beide vlakken de normaalvector af en bepaal het vectorieel product van beide, dat levert onmiddellijk de gezochte richtingsvector/normaalvector.

Berichten: 58

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Het lukt me niet om de vergelijking van de rechte te vinden, als ik het stelsel oplos kom ik vast te zitten nadat ik z als parameter heb genomen kan ik x en y definiëren in t maar hoe ga ik hier verder?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Er is niet zoiets als "de vergelijking". De gegeven vorm (als stelsel van twee vlakken) is ook (al) een voorstelling van de rechte, maar als je graag gemakkelijk een richtingsvector wil kunnen aflezen, is een andere vorm handiger: in parameter- of vectoriële vorm. Om die vorm te krijgen, kan je het stelsel oplossen - met methodes naar keuze en naar twee van de drie variabelen (in functie van de derde), naar keuze.

Als je z als parameter genomen hebt en x en y in functie van z (of t) hebt, dan ben je klaar. Hoe ziet je oplossing eruit?

Berichten: 58

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

X= 5z-3
Y= 7z-6

Hoe kan ik hier die richtingsvector uit halen want mijn brein werkt even niet meer mee.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Dus in parametervorm (stel z = t) ziet je rechte er nu zo uit:

\(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5t-3\\7t-6\\t\end{bmatrix}\)

met t een reële parameter, of nog:

\(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\-6\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}5\\7\\1\end{bmatrix}\)

Ziet dat er bekend(er) uit?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.732

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Sorry, TD. Ik had niet de bedoeling door jouw uitleg heen te fietsen.

Edit: En het was inderdaad niet correct. Alleen als de lijn door de oorsprong zou gaan -wat niet het geval is.
Laatst gewijzigd door Xilvo op ma 19 aug 2019, 18:59, 3 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Xilvo schreef:
ma 19 aug 2019, 18:54
Je kunt b.v. z=1 invullen, dan heb je de drie componenten in getalvorm.
Als je dat doet krijg je een punt op de rechte, (en in het algemeen) geen richtingsvector.


Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Xilvo schreef:
ma 19 aug 2019, 18:54
Sorry, TD. Ik had niet de bedoeling door jouw uitleg heen te fietsen.

Edit: En het was inderdaad niet correct. Alleen als de lijn door de oorsprong zou gaan -wat niet het geval is.
No worries: iedereen mag reageren en soms kruisen berichten.

Je kan natuurlijk wel twee punten nemen en die van elkaar aftrekken, dat werkt wel, maar de richtingsvector is nu 'rechtstreeks af te lezen'.

Berichten: 58

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Dus die vergelijking dat je daar hebt geschreven heb ik naar een cartesische vervormd zodat t wegvalt. Hieruit haal je dan de a,b,c van je richtingsvector die is dan (5,7,1). Hier berekende ik mijn vlak dat dan als vergelijking 5x+7y+2z-1=0.

Ik kan jammer genoeg niet checken of dit klopt omdat ik geen oplossingen heb. Klopt wat ik doe of niet?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

MatthijsM schreef:
ma 19 aug 2019, 19:06
Dus die vergelijking dat je daar hebt geschreven heb ik naar een cartesische vervormd zodat t wegvalt.
Dat is niet de bedoeling: je komt net van een cartesische voorstelling! Je kan nu de richtingsvector onmiddellijk aflezen bij de parameter t, namelijk (inderdaad) [5,7,1]. Meer heb je van die rechte niet nodig.

Hier berekende ik mijn vlak dat dan als vergelijking 5x+7y+2z-1=0.

Ik kan jammer genoeg niet checken of dit klopt omdat ik geen oplossingen heb. Klopt wat ik doe of niet?
Dat rode kan niet kloppen, zie richtingsvector - die je als normaalvector gebruikt - van hierboven!

Berichten: 58

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Ja idd. Zie het nu enorm bedankt voor de hulp. Die 2 was een schrijffoutje

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Oké, dan klopt het inderdaad!

Gebruikersavatar
Berichten: 2.618

Re: Ruimtemeetkunde: bepalen van een cartesiche vergelijking

Het kan iets sneller dacht ik.

Het maakt niet uit om voor het vlak;
V: x-y+2z-3=0
een vlak
W: x-y+2z=0 te nemen.

Daar deze snijlijnen evenwijdig lopen is de nieuwe snijlijn evenwijdig aan de oude.

Reageer