inspringende hoeken
-
- Berichten: 635
inspringende hoeken
Hoeveel inspringende hoeken zijn er maximaal mogelijk in een n-hoek?
- Berichten: 4.320
Re: inspringende hoeken
Ik denk dat dat afhangt of n even of oneven is.
Maar een bewijs heb ik nog niet.
PS.
Ik ga uit van een soort zaagtand en verbindt dan de einden.
Maar een bewijs heb ik nog niet.
PS.
Ik ga uit van een soort zaagtand en verbindt dan de einden.
-
- Berichten: 635
Re: inspringende hoeken
@Tempelier
Ik dacht, als n even is, dat n/2 inspringende hoeken mogelijk zijn.
Maar RedCat doet me vermoeden, dat het altijd n-1 is.
Ik dacht, als n even is, dat n/2 inspringende hoeken mogelijk zijn.
Maar RedCat doet me vermoeden, dat het altijd n-1 is.
- Berichten: 4.320
Re: inspringende hoeken
Die tekening heeft drie scherpen hoeken. dat duidt op n-3
Zou slechts bewezen moeten worden dat n-2 niet mogelijk is:
De som van de hoeken is (n-2)*180 en dan uit het ongerijmde.
Zou slechts bewezen moeten worden dat n-2 niet mogelijk is:
De som van de hoeken is (n-2)*180 en dan uit het ongerijmde.
-
- Berichten: 2
Re: inspringende hoeken
Bij een driehoek heb je geen inspringende hoek. Dat kan ook niet. Een inspringende hoek > 180⁰
Voor een 4-hoek geldt dus dat er maximaal 1 inspringende hoek kan zijn. (2 geeft nl. meer dan 360⁰)
Voor een n-hoek is dan ook vrij eenvoudig te zien dat er maximaal n-3 inspringende hoeken kunnen zijn.
De volgende stap: bestaat hij? Dit is ook niet erg ingewikkeld.
Ik heb maar 1 voorbeeld nodig, dus:
Stel een veelhoek Vn met hoeken A,B,C en Pt waarbij t=1 tm n-3.
Stel som (∠A,∠B,∠C)=170⁰ en alle ∠P zijn even groot. (ik hoef maar één voorbeeld).
Kies ∠P=180+h met als voorwaarde dat h>0
Dan geldt: Som(Vn)= (n-2)*180 =som(∠A,∠B,∠C) +(n-3)*∠P = som(∠A,∠B,∠C) + (n-3)*(180+h) dus.
180 + (n-3)*180 = 170 +(n-3)*180 + (n-3)*h dus
10 = (n-3)*h dus h=10/(n-3) dit is >0 maw de veelhoek bestaat.
Stel je een 3-hoek voor (ABC) met een klein knikje naar binnen in lijnstuk BC. (P). Nu heb je een 4-hoek ABPC. enz.
Voor een 4-hoek geldt dus dat er maximaal 1 inspringende hoek kan zijn. (2 geeft nl. meer dan 360⁰)
Voor een n-hoek is dan ook vrij eenvoudig te zien dat er maximaal n-3 inspringende hoeken kunnen zijn.
De volgende stap: bestaat hij? Dit is ook niet erg ingewikkeld.
Ik heb maar 1 voorbeeld nodig, dus:
Stel een veelhoek Vn met hoeken A,B,C en Pt waarbij t=1 tm n-3.
Stel som (∠A,∠B,∠C)=170⁰ en alle ∠P zijn even groot. (ik hoef maar één voorbeeld).
Kies ∠P=180+h met als voorwaarde dat h>0
Dan geldt: Som(Vn)= (n-2)*180 =som(∠A,∠B,∠C) +(n-3)*∠P = som(∠A,∠B,∠C) + (n-3)*(180+h) dus.
180 + (n-3)*180 = 170 +(n-3)*180 + (n-3)*h dus
10 = (n-3)*h dus h=10/(n-3) dit is >0 maw de veelhoek bestaat.
Stel je een 3-hoek voor (ABC) met een klein knikje naar binnen in lijnstuk BC. (P). Nu heb je een 4-hoek ABPC. enz.