Gulden snede

[Rik Speybrouck]

In de twee bijlagen staat een uitwerking die zou moeten resulteren in de gulden snede. Ik zie momenteel nog niet direct een uitweg. De bijlagen maken alles duidelijk.

[RedCat]

Via brute kracht zou het moeten lukken via deze route:
Leg de driehoek in een assenstelsel met A = (0, 0), C op de positieve x-as en B=(Bx, By) met By > 0.
Na vrije keuze van zijden b en c ligt a vast wegens de gulden snede:

\(\frac{b+c}{a} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \;\Rightarrow\; a = \frac{2(b+c)}{1+\sqrt{5}}\)

Uit de cosinusregel volgt cos(α):

\(\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

en vervolgens tan(α/2):

\(\tan\left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}\)

De straal R van de uitwendige cirkel tegenover A is:

\(R=\sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}\)

waarbij s = (a+b+c)/2
R is tevens Jy = de y-coordinaat van punt J (= het middelpunt van deze uitwendige cirkel)
J ligt op de lijn y = tan(α/2) * x, dus

\(Jx= \frac{Jy}{\tan(\frac{\alpha}{2})}\)

Noem Q het middelpunt van de omgeschreven driehoek (O reserveer ik voor de oorsprong = A), dan is

\(Qx = \frac{b}{2}\)

en via de formules van https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr ... rdinates_2:

\(Qy = \frac{c-b\cos(\alpha)}{2\sin(\alpha)}\)

cos(α) hadden we al exact, en daarmee hebben we ook sin(α) exact.
Voor de straal r van de omgeschreven cirkel geldt:

\(r^2 = Qx^2 + Qy^2\)

en voor de afstand QJ:

\(QJ^2=(Qx-Jx)^2 + (Qy-Jy)^2\)

Driehoek QMJ is rechthoekig, dus

\(MJ = \sqrt{QJ^2 - r^2}\)

Om P = (Px, Py) te vinden snijden we de lijn l: y = tan(α/2) * x met
de lijn m door B = (c*cos(α), c*sin(α) ) en C = (b, 0):

\(m: \; y = \frac{By}{Bx-b} \cdot x - \frac{b \cdot By}{Bx-b}\)

Met Px en Py bepalen we

\(PJ=\sqrt{(Px-Jx)^2 + (Py-Jy)^2}\)

en nu zou moeten gelden: MJ = PJ
Tenslotte nog controleren of deze afleiding de andere kant op ook geldig is.


Het zal een hele klus zijn om dit algebraisch uit te werken, met een getallenvoorbeeld is het eenvoudiger:
kies b = AC = 5 en c = AB = 18 (zoals in bovenstaand plaatje), dan is

\(a = \frac{23}{2}(-1+\sqrt{5})\)

\(\cos(\alpha) = \frac{-889}{360}+ \frac{529}{360}\sqrt{5}\)

\(\sin(\alpha) = \frac{23}{180}\sqrt{\frac{1}{2}(-1947+889\sqrt{5})}\)

\(\tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{23}\sqrt{-349+180\sqrt{5}}\)

\(Jy = R = \sqrt{\frac{1}{8}(-147+191\sqrt{5})}\)

\(Jx = \frac{23}{2}\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}}\)

\(Qx=\frac{5}{2}\)

\(Qy=\sqrt{\frac{10302625}{160796}+\frac{1458000}{40199}\sqrt{5}}\)

\(r^2 = \frac{2826900}{40199}+\frac{1458000}{40199}\sqrt{5}\)

\(QJ^2=\frac{4635855}{40199}+\frac{3266955}{40199}\sqrt{5}\)

\(MJ =\sqrt{45\cdot(1+\sqrt{5})}\)

vervolgens:

\(Px=\frac{23}{4}(-1+\sqrt{5})\)

\(Py=\sqrt{\frac{1}{8}(-1947+889\sqrt{5})}\)

\(PJ =\sqrt{45\cdot(1+\sqrt{5})} = MJ\)

[RedCat]

Hier nog wat aanvullende resultaten (op weg naar een elegante oplossing?):
Gulden snede: uit (b+c)/a = φ volgt dat x=(b+c)/a een oplossing is van x²-x-1=0
Invullen van (b+c)/a in deze kwadratische vergelijking levert:

\((b+c)^2 = a(a+b+c)\)

Hiermee wordt:

\(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{(s-c)(s-b)}{s(s-a)}}\)

\(Jy=R=s\cdot \tan(\frac{\alpha}{2})\)

\(Jx=s\)

[Rik Speybrouck]

das een hele uitwerking hoor, proficiat met wat jij allemaal kan.