bewijs

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

bewijs

1.png
1.png (2.45 KiB) 946 keer bekeken
driehoek.png
driehoek.png (8.39 KiB) 946 keer bekeken
Van de bewering
2.png
2.png (1.66 KiB) 946 keer bekeken
moet de waarheid middels een bewijs nog worden aangetoond.
Hmm..wel heb ik een bekende driehoek getekend, er wat aan gerekend en…het klopt!
Hoe zou een mooi bewijs eruit kunnen zien?

Berichten: 387

Re: bewijs

Afbeelding
Definieer:
\(\angle BCA = \gamma\)
\(\angle ABC = 2\gamma\)
\(BC=3a\)
\(BD=4a\)
\(AB=b\)
\(AD=d\)
dan moeten we bewijzen:
\(opp\; \triangle ABC = \frac{1}{4}(3a)^2 \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{4}(3a)^2 \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}\)
en omdat dit oppervlak gelijk is aan 1/2 * basis * hoogte:
\(opp\; \triangle ABC = \frac{1}{2}(3a)h\)
zijn we klaar als we bewijzen dat:
\(h = \frac{1}{2}(3a) \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}\)

Eerst werken we theta weg:
Sinusregel in driehoek ABD:
\(\frac{\sin \theta}{4a} = \frac{\sin 2\gamma}{d} = \frac{h/b}{d}\)
dus
\(\sin \theta = \frac{4ah}{bd}\)
Cosinusregel in driehoek ABD:
\((4a)^2 = b^2+d^2-2bd\cos \theta\)
dus
\(\cos \theta = \frac{b^2+d^2-(4a)^2}{2bd}\)
Waardoor we nog moeten bewijzen:
\(h = \frac{3}{2}a \frac{\frac{4ah}{bd}}{1-\frac{b^2+d^2-(4a)^2}{2bd}}\)
ofwel
\(h = \frac{3}{2}a \frac{8ah}{2bd-b^2-d^2+(4a)^2}\)
ofwel
\(1 = \frac{12a^2}{2bd-b^2-d^2+(4a)^2}\)
ofwel
\(16a^2 - d^2 + 2bd - b^2 = 12a^2\)
ofwel
\(4a^2 = d^2 - 2bd + b^2 = (d-b)^2\)
en omdat a>0 en d>b hebben we nog te bewijzen:
\(2a = d - b\)

Bewijs 2a = d - b:
In het rooster van bovenstaand plaatje ligt driehoek ABC vast als a en gamma gegeven zijn:
De lijn l door A en B wordt gegeven door:
\(l:\; y=x \tan 2\gamma\)
en de lijn m door A en C door:
\(m: \; y=(-\tan \gamma) \cdot x + 3a\tan \gamma\)
Het snijpunt van l en m levert A, oplossen naar y geeft:
\(h = y_A = a\frac{6\tan \gamma}{3 - \tan^2 \gamma} = a \frac{3 \sin 2\gamma}{(2\cos 2\gamma)+1}\)
met
\(\sin 2\gamma = \frac{h}{b} \)
en via de cosinusregel in driehoek ABD:
\(\cos 2\gamma = \frac{(4a)^2+b^2-d^2}{8ab}\)
Samengenomen leveren de laatste 3 gelijkheden op:
\(h = a \frac{3 h/b}{2\frac{(4a)^2+b^2-d^2}{8ab}+1}\)
ofwel
\(h = a \frac{12 ah}{(4a)^2+b^2-d^2+4ab}\)
ofwel
\((4a)^2+b^2-d^2+4ab = 12 a^2\)
ofwel
\(4a^2+b^2-d^2+4ab = 0\)
ofwel
\((2a+b)^2=d^2\)
ofwel (alles is positief):
\(2a+b=d\)
ofwel
\(2a=d-b\)
hetgeen te bewijzen was.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

Re: bewijs

Petje af!
Dit is dus hoe een mooi bewijs eruit ziet ;)
Dankzij jouw duidelijke aanpak heb ik alle stappen kunnen volgen..
ik ben zelf al een tijdje bezig geweest met deze opgave maar zag geen kans het bewijs te leveren.
En dan te bedenken dat er wellicht nog meer mooie bewijzen voor zijn.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 8.028

Re: bewijs

ukster schreef: do 23 jun 2022, 12:56 Petje af!
Mijn petje ook!

Gebruikersavatar
Berichten: 3.933

Re: bewijs

Bij RedCat bespeur ik altijd een soort van vanzelfsprekend onderliggend logisch masterplan naar de uiteindelijke bewijsvoering! Dat getuigt van vergaand inzicht. dat gaat toch even verder dan mijn kwaliteiten toelaten :D

Reageer