Dit moet je misschien weten: A is een vierkante stochastische matrix, de kolommen tellen op tot 1. X is een kolommatrix.Bij de studie van een gesloten leontiefmodel hebben in ... aangetoond dat het relevante stelsel (X=AX) oplossingen verschillend van de triviale nuloplossing heeft. Maar we hebben toen niet bewezen dat er een niet-nuloplossing bestaat die economisch zinvol is, dwz een oplossing waarvoor alle onbekenden een positieve waarde hebben. Bewijs dit nu met je kennis ivm eigenwaarden en eigenvectoren.
Deel van het bewijs
X=AX, 1 is dus een eigenwaarde van A. De bijhorende eigenvector X is verschillend van de nulvector, omdat een eigenvector niet gelijk kan zijn aan de nulvector.
Nu moet er nog bewezen worden dat deze eigenvector positief is, maar hoe? Misschien dat, als X een eigenvector is bij eigenwaarde 1, dan is ook |X| een eigenvector... Maar dan zou ik daar graag wat uitleg bij willen.
Alvast bedankt!