Bewijs ivm eigenwaarden

[raintjah]

Bewijs:

Zij A en B beide nxn matrices, waarbij B inverteerbaar is. Toon nu aan dat de eigenwaarden van de matrix A en de matrix B^-1AB dezelfde zijn.

Bijvraagje:

Mag je zeggen dat det(B^-1AB) = det(B^-1)*det(A)*det(B) = det(A)?

Ik meen mij daar iets over te herinneren, maar ik ben niet zeker. Als dat zo is, is het makkelijk te bewijzen.

[TD]

Er geldt det(AB) = det(A)det(B), dus dat mag je inderdaad zeggen.

[raintjah]

Ook die laatste gelijkheid?

det(B^-1)*det(A)*det(B) = det(A)?

[TD]

Determinant zijn gewoon getallen, dan geldt commutativiteit.

Pas dan de regel det(AB) = det(A)det(B) in de andere richting toe:

\(\det \left( {B^{ - 1} } \right)\det \left( A \right)\det \left( B \right) = \det \left( {B^{ - 1} } \right)\det \left( B \right)\det \left( A \right)\)

\(= \det \left( {B^{ - 1} B} \right)\det \left( A \right) = \det \left( I \right)\det \left( A \right) = \det A\)

[raintjah]

Joepie, dan heb ik die vraag (het oorspronkelijke bewijs) op mijn examen tóch juist

You made my day ;D

[raintjah]

Voor ik te vroeg juich:

Mijn bewijs ging als volgt:

Stel dat lambda een eigenwaarde is van A, dan geldt:

\(det(A-\lambda 1_n) = 0\)

Voor de determinant van C (met

\(C=B^{-1}AB\)

) geldt:

\(det©=det(B^{-1}AB) = det(A)\)

Aangezien det(A) = det©, zal

\(det(A-\lambda 1_n) = 0 = det(C-\lambda 1_n) = 0\)

en dus is lambda ook een eigenwaarde van C.

[raintjah]

Ik denk dat ik al een tegenvoorbeeld heb gevonden voor die laatste stap.. Verdorie!

Hoe had ik het dan wel moeten bewijzen?

[TD]

Waarom zou uit det(A) = det© volgen dat ook det(A-kIn) = det(C-kIn)?

[raintjah]

Waarom zou uit det(A) = det© volgen dat ook det(A-kIn) = det(C-kIn)?

Ja dat vraag ik me nu ook af

[TD]

Neem matrix A met eigenwaarde lambda (en bijbehorende eigenvector v).

Herschrijf dan als volgt en definieer een nieuwe (eigen)vector Pv = w, dan:

\(A\vec v = \lambda \vec v \Rightarrow BA\vec v = B\lambda \vec v \Leftrightarrow BAB^{ - 1} B\vec v = \lambda B\vec v \to \left( {BAB^{ - 1} } \right)\vec w = \lambda \vec w\)

[Akarai]

Stel

\( C = B^{-1}AB\)

\(C = B^{-1}AB\)

\(C-\lambda I = B^{-1}AB - \lambda I\)

\(C-\lambda I = B^{-1}AB - \lambda B^{-1}B\)

\(C-\lambda I = B^{-1}(AB - \lambda B)\)

\(C-\lambda I = B^{-1}(A - \lambda I)B\)

Bereken ff de determinanten:

\(det(C-\lambda I) = det(B^{-1}(A - \lambda I)B)\)

\(det(C-\lambda I) = det(B^{-1})det(A- \lambda I)det(B)\)

en B is inverteerbaar =>

\(det(B)\)

en

\(det (B^{-1})\)

zijn niet 0.

dus:

\(det(C-\lambda I) = det(B^{-1})det(B)det(A- \lambda I)\)

\(det(C-\lambda I) = det(B^{-1}B)det(A- \lambda I)\)

\(det(C-\lambda I) = det(I)det(A- \lambda I)\)

\(det(C-\lambda I) = det(A- \lambda I)\)

Dit geldt voor elke eigenwaarde

\( \lambda \)

dus ze hebben dezelfde eigenwaarden.

[raintjah]

Hmm, dan kom je uiteindelijk toch op hetzelfde uit als mij :s Vreemd

[TD]

Welja, als de stelling klopt moet je daarbij kunnen uitkomen.

Alleen kan je dat nog niet concluderen uit det© = det(A).

[Akarai]

Het bewijs is eigenlijk triviaal, want wat eigenlijk in je opgave staat is dat

\(A\)

en

\(B^{-1}AB\)

similar matrices zijn, dus ze hebben dezelfde eigenwaarden. dezelfde rang, dezelfde determinant, hetzelfde spoor...

Dus eigenlijk hoefde je gewoon te zeggen dat het 2 similar matrices waren, want wat in de opgave staat is de definitie ervan

[TD]

Het bewijs is eigenlijk triviaal, want wat eigenlijk in je opgave staat is dat

\(A\)

en

\(B^{-1}AB\)

similar matrices zijn, dus ze hebben dezelfde eigenwaarden. dezelfde rang, dezelfde determinant, hetzelfde spoor...

Dus eigenlijk hoefde je gewoon te zeggen dat het 2 similar matrices waren, want wat in de opgave staat is de definitie ervan

Dat maakt het bewijs toch niet "trivialer" dan het al was? Zoals je zegt is het gegeven net dat ze gelijksoortig zijn, alleen zonder het zo te noemen. Je moet dus (volgens mij) net aantonen dat deze gelijke eigenwaarden hebben. Dat kan inderdaad kort, zoals hier.