Stroom door V3:
\(i_3 = \frac{8}{R_2}\)
Voor V2 geldt:
\(V2 = 8 + R_1 \cdot i_3 = 8 + \frac{R_1}{R_2} \cdot 8 = \left(1 + \frac{R_1}{R_2} \right) \cdot 8\)
Stroom door V2:
\(i_2 = \frac{V_2}{R_2}\)
Voor V1 geldt:
\(V1 = 10 = V_2 + R_1 \cdot (i_2 + i_3) = V_2 + R_1 \cdot (\frac{V_2}{R_2} + \frac{8}{R_2}) = (1 + \frac{R_1}{R_2}) \cdot V_2 + \frac{R_1}{R_2} \cdot 8\)
Bij beide kanten 8 optellen:
\(18 = (1 + \frac{R_1}{R_2}) \cdot V_2 + (1 + \frac{R_1}{R_2}) \cdot 8 = (1 + \frac{R_1}{R_2}) \cdot (V_2 + 8)\)
\(= (1 + \frac{R_1}{R_2}) \cdot ( \left(1 + \frac{R_1}{R_2} \right) \cdot 8 + 8) = 8 \cdot (1 + \frac{R_1}{R_2}) \cdot (2 + \frac{R_1}{R_2})\)
Dit tussenresultaat doet mij vermoeden dat je ook iets slims kan doen (ziet er namelijk wel heel mooi uit
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
).
Breuk vervangen door alfa en geheel omschrijven naar:
\(\frac{18}{8} = (1 + \alpha) \cdot (2 + \alpha) = 2 + 3 \cdot \alpha + \alpha^2 = \alpha^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \alpha + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 2\)
Ofwel:
\(\frac{18}{8} + \frac{9}{4} - 2 = \alpha^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \alpha + \frac{9}{4}\)
\(\frac{18}{8} + \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = \frac{10}{4} = (\alpha + \frac{3}{2})^2\)
\(\frac{\sqrt{10}}{2} = \alpha + \frac{3}{2}\)
\(\alpha = \frac{\sqrt{10} - 3}{2}\)
Dus:
\(V2 = \left(1 + \frac{\sqrt{10} - 3}{2} \right) \cdot 8 = 8 + 4 \cdot (\sqrt{10} - 3) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot (\sqrt{10} - 3) = 4 \cdot (\sqrt{10} - 1)\)