kritische straal

Moderator: Rhiannon

Gebruikersavatar
Berichten: 4.340

kritische straal

Een uitdaging om eens uit te zoeken wat de uitdrukking is voor de kritische straal rk=f(n) van de ingeschreven cirkel in de functiefamilie y=x2n aangenomen dat n::integer, n>1
kritische straal ingeschreven cirkel.png
kritische straal ingeschreven cirkel.png (12.69 KiB) 2479 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 1.867

Re: kritische straal

Wat is de betekenis van kritische straal in deze context?

Berichten: 436

Re: kritische straal

kritr.png
kritr.png (6.72 KiB) 2315 keer bekeken
Als:
\(x_q=\left( \frac{n-1}{n} \right)^{\frac{1}{4n-2}}\)
\(y_q=x^{2n}=\left( \frac{n-1}{n} \right)^{\frac{n}{2n-1}}\)
\(r_k= \frac{2n-1}{2n-2} \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right)^{\frac{n}{2n-1}}\)
\(C:\; x^2 + (y-r_k)^2 = r_k^2\)

dan raakt ingeschreven cirkel C met middelpunt M = (0, rk) en straal rk
de grafiek van y=x2n in deze 3 punten:
O = (0, 0)
P = (-xq, yq)
en
Q = (xq, yq)

Hierboven een plaatje voor n=3 waarbij rk ≈ 0.9800658521038946438

Zoek je dit?

Berichten: 3.442

Re: kritische straal

RedCat schreef: vr 26 mei 2023, 08:32 dan raakt ingeschreven cirkel C met middelpunt M = (0, rk) en straal rk
de grafiek van y=x2n in deze 3 punten:

Zoek je dit?
zo te zien niet want in het plaatje van ukster raakt de cirkel niet het punt (0,0) maar een punt met negatieve y waarde. dus blijkbaar is de definitie van Ukster dan gebaseerd op 2 raakpunten ipv 3.

Berichten: 3.442

Re: kritische straal

wnvl1 schreef: do 25 mei 2023, 23:22 Wat is de betekenis van kritische straal in deze context?
dus inderdaad eerst definieren wat je precies bedoelt

Gebruikersavatar
Berichten: 4.340

Re: kritische straal

Volgens mij de minimale cirkelstraal waarbij de cirkel de functie raakt ter weerszijde van x=0 en functie niet snijdt (rode cirkel)
kritische straal.png

Gebruikersavatar
Berichten: 1.867

Re: kritische straal

Vermoedelijk bedoel je maximale cirkelstraal.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.180

Re: kritische straal

ukster schreef: vr 26 mei 2023, 13:48 Volgens mij de minimale cirkelstraal waarbij de cirkel de functie raakt ter weerszijde van x=0 en functie niet snijdt (rode cirkel)
De rode cirkel snijdt de functie toch?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.340

Re: kritische straal

Ja, als r > rk dan zal de cirkelvergelijking behalve de raakpunten onderin ook snijpunten erboven met de functie hebben.
r groter dan rk.png
r groter dan rk.png (24.72 KiB) 2243 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 4.340

Re: kritische straal

Xilvo schreef: vr 26 mei 2023, 14:16
ukster schreef: vr 26 mei 2023, 13:48 Volgens mij de minimale cirkelstraal waarbij de cirkel de functie raakt ter weerszijde van x=0 en functie niet snijdt (rode cirkel)
De rode cirkel snijdt de functie toch?
ja, Bedoeld wordt snijpunt boven de raakpunten

Berichten: 3.442

Re: kritische straal

ukster schreef: vr 26 mei 2023, 13:48 Volgens mij de minimale cirkelstraal waarbij de cirkel de functie raakt ter weerszijde van x=0 en functie niet snijdt
Ik denk dat je dan te maken krijgt met het begrip 'kromte straal'
Je kunt in elk punt van de kromme een kromtestraal bepalen. Dat is de kromming in dat punt.
daar kun je dus een raakcirkel tekenen. met een middelpunt.
blijkbaar ben je dan op zoek naar een punt waarbij de raakcirkel een middelpunt op de y-as heeft.

Berichten: 436

Re: kritische straal

kritr2.png

@ukster:
Gaat het dan dus niet meer om ingeschreven cirkels (die in 1 gebied naast een curve liggen), maar om
gewone cirkels die de grafiek van y=x2n raken in 2 verschillende punten?

Zo blijkt uit bovenstaand plaatje dat er voor n=3 zo'n cirkel met een minimale straal moet bestaan, waarbij de x-waarde van het positieve raakpunt ergens tussen 0.60 en 1.20 zal liggen.

PS: @allen:
Met raken bedoel ik ook "snijdend raken", bestaat hiervoor wellicht een speciale wiskundige term?
(ander voorbeeld: f(x)=x³ en g(x)=-x³ in x=0: de afgeleiden zijn daar gelijk, maar toch snijden de grafieken elkaar)

Berichten: 3.442

Re: kritische straal

RedCat schreef: vr 26 mei 2023, 15:56 Met raken bedoel ik ook "snijdend raken",
raken betekent dat de afgeleide van de curve en de cirkel hetzelfde is in het raakpunt. maar dan kun je nog steeds meerder opties heben hoe het een stukje naast het raakpunt gaat; als zowel de 1e als 2e afgeleide in het raakpunt hetzelfde zijn dan heb je de cirkel met de kromtestraal.
dus de vraag is of je alleen wilt raken of dat je dezelfde kromtestrraal wilt hebben in het raakpunt voor de curve en cirkel.
snijdend raken betekent dan dat de 2e afgleide van de curve aan de ene kant van het raakpunt groter is dan die van de raakcurkel en aan de andere kant is die dan kleiner.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.340

Re: kritische straal

RedCat schreef: vr 26 mei 2023, 15:56 kritr2.png


@ukster:
Gaat het dan dus niet meer om ingeschreven cirkels (die in 1 gebied naast een curve liggen), maar om
gewone cirkels die de grafiek van y=x2n raken in 2 verschillende punten?

Zo blijkt uit bovenstaand plaatje dat er voor n=3 zo'n cirkel met een minimale straal moet bestaan, waarbij de x-waarde van het positieve raakpunt ergens tussen 0.60 en 1.20 zal liggen.

PS: @allen:
Met raken bedoel ik ook "snijdend raken", bestaat hiervoor wellicht een speciale wiskundige term?
(ander voorbeeld: f(x)=x³ en g(x)=-x³ in x=0: de afgeleiden zijn daar gelijk, maar toch snijden de grafieken elkaar)
Klopt..
Voor n=3 vind ik de kritische straal:
sys.png
sys.png (10.02 KiB) 2155 keer bekeken
n=3.png
n=3.png (35.06 KiB) 2155 keer bekeken

Berichten: 436

Re: kritische straal

kritr3.png

Hierboven een plaatje met punt P = (xp, yp) op de rode curve y = x2n
De groene lijn is de raaklijn in P aan de curve.
De blauwe lijn l staat loodrecht op deze raaklijn, loopt ook door P en snijdt de y-as in M = (0, m).
Dan is de vergelijking van l:
\(l:\; y=-\frac{1}{2n\cdot x_p^{2n-1}}\cdot x + m\)
Omdat P op l ligt levert dit:
\( m = y_p+\frac{1}{2n\cdot x_p^{2n-1}}\cdot x_p = y_p+ \frac{1}{2n}\cdot x_p^{(2-2n)}\)
.
Vul dit in in de cirkelvergelijking van de raakcirkel:
\(C: \; r^2 = x^2+(y-m)^2\)
en gebruik dat P ook op deze cirkel ligt. Dat geeft:
\(r^2 = x_p^2 + \frac{1}{4n^2}\cdot x_p^{(4-4n)}\)
.
We willen r² minimaliseren: afgeleide naar xp nul stellen. Dit levert op (naast xp=0):
\(x_{p,min} = \left( \frac{2n^2}{n-1} \right)^{\frac{1}{2-4n}}\)
en vervolgens via de vergelijking voor r²:
\(r_{min} = x_{p,min}\cdot \sqrt{\frac{2n-1}{2n-2}}\)
.
Voor n=3 geeft dit
\(x_{p,min} = 3^{-1/5}\)
en
\(r_{min} = 3^{-1/5} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{5}\)
zoals we eerder al zagen.

@ukster:
Hoe kom je aan de waarde van k in de blauwe cirkel?

Reageer