theta

[ukster]

semibol.png (4.35 KiB) 2275 keer bekeken

Halve bol, straal r
staafje L=2r, massa m
Er is geen wrijving, er is evenwicht!
θ = ?

[wnvl1]

De afstand tussen A en B is \(2r\cos \theta\).
\(R_A \)en \(R_B \) zijn de reactiekrachten in A en B.

Het momentenevenwicht rond A:

\(mg(L/2) = R_B 2r\cos \theta\)

De normaal in A maakt een hoek met de horizontale van \( \phi = \theta + Acos((AB/2)/r)=2\theta\)

Horizontaal evewicht:
\(R_A \cos \phi = R_B \sin \theta\)

Verticaal evewicht:
\(R_A \sin \phi + R_B cos \theta = mg\)

3 vergelijkingen en 3 onbekenden: \(R_A\), \(R_B\) en \(\theta\).

[ukster]

moet het linkerlid van het momentenevenwicht rond A niet zijn: mg(L/2)*cos(θ) ?

[wnvl1]

Ja, cos theta ontbreekt in mijn formule.

[Xilvo]

Ik denk dat het makkelijker is te kijken wanneer het midden van AB z'n laagste punt bereikt.
Dat is bij ongeveer 32,5°.

[ukster]

Dat klopt aardig. de analytische oplossing is θ=cos^-1((1+√33)/8)

[Xilvo]

Mijn oplossing is de \(\theta\) die voldoet aan \(2(\cos^2 {\theta} -\sin^2{\theta})-\cos \theta=0\)
Ik heb nog niet gecontroleerd of dat op hetzelfde neerkomt.

[ukster]

Dat geeft dezelfde uitkomst.