vB

[ukster]

Een dun solide staafje (L=2R) leunt tegen een gefixeerde semi cilinder met straal R=1m. Vanuit rust wordt het staafje losgelaten.

vB.png (16.75 KiB) 7310 keer bekeken

Wat is de snelheid van punt B op het moment dat deze het oppervlak van de semi cilinder bereikt.
(g=9,81m/s². Laat alle wrijving buiten beschouwing)

[wnvl1]

Behoud van energie en samengestelde beweging:

$$\frac{\frac{m(2R)^2}{3} \cdot (\frac{v_A}{2\sqrt{5}})^2}{2}+\frac{mv_A^2}{2}+mR\frac{g}{\sqrt{5}}=mR\frac{\sqrt{2}}{2}g$$

\(v_B\) bereken je dan uit

$$v_B=\frac{2}{\sqrt{5}}v_A$$

[wnvl1]

De snelheid van het massacentrum van de staaf links in de vergelijking is fout. Ik zal het later corrigeren.

[ukster]

Traagheidsmoment.png (4.39 KiB) 7191 keer bekeken

Is het bovenste traagheidsmoment hier niet van toepassing?

[wnvl1]

Ja, dat was een fout van mij. Maar er zit nog iets fout in mijn berekening.

[wnvl1]

Je hebt in de situatie waar B de halve cilinder raakt

$$\vec{v_B}=\vec{v_A} + \vec{\omega}_{staaf} \times (\vec{r_B} - \vec{r_A}) $$
$$\vec{v_B}= \vec{\omega}_B \times \vec{r_B}$$

Als je de oorsprong leg in het midden van de vaste cilinder. Dat legt een verband tussen de (hoeksnelheden).
Daar zat ik fout in mijn vorige berekening.

[wnvl1]

Ik heb dus dan nog

$$\vec{v_M}=\vec{v_A} + \vec{\omega}_{staaf} \times (\frac{\vec{r_B} - \vec{r_A}}{2})$$

$$\frac{\frac{m(2R)^2}{12} \omega_{staaf}^2}{2}+\frac{mv_M^2}{2}+m\frac{R}{\sqrt{5}}g=mR\frac{\sqrt{2}}{2}g$$

[ukster]

Dat klopt!
met v_M=ωR√17 en v_B=4Rω geeft dat ω=0,54238 rad/s en v_B=2,169m/s

[ukster]

[wnvl1]

Dat is een oplossing via het ogenblikkelijk rotatiecentrum.

Ik denk dat Lagrange ook tot een mooie oplossing gaat leiden voor dit probleem.