massa

[ukster]

Een cilinder met een massa van 25 kg bevat heliumgas, dat is ingesloten door een goed passende zuiger met een massa van 25 kg. De dwarsdoorsnede van de cilinder is 0,4 dm² en de zuiger bevindt zich op een hoogte van
8,96 dm vanaf de bodem van de cilinder. De zuiger is bevestigd aan een massaloos touw dat is gewikkeld rond een katrol met een straal van 0,2 m en een roterende traagheid van 3 kg.m² (verwaarloos wrijving).
De container en de zuiger bewegen naar beneden met dezelfde constante versnelling.
atmosferische druk p_o = 10 N/cm², de temperatuur is 0°C en g=10 m/s²

1.png (10.06 KiB) 2906 keer bekeken

massa heliumgas?

[wnvl1]

Is het dan de bedoeling dat je de drukgradiënt die in het gas ontstaat in rekening brengt of is dat buiten scope?

[ukster]

Buiten scope.
de vraag kan worden beantwoord via de algemene gaswet en 2e wet van Newton (lineair en rotatie)

[wnvl1]

Ik kom op 0.394g He.

Code: Selecteer alles

from sympy import *
m_cilinder, m_zuiger, A_cilinder, h_zuiger, r_katrol, I_katrol, p_atm, g, T, V, R, a, n, M_He, m_He, p_He, F_touw = symbols('m_cilinder, m_zuiger, A_cilinder, h_zuiger, r_katrol, I_katrol, p_atm, g, T, V, R, a, n, M_He, m_He, p_He, F_touw') 
eq1 = Eq(m_cilinder, 25)
eq2 = Eq(m_zuiger, 25)
eq3 = Eq(A_cilinder,0.4*10**-2)
eq4 = Eq(h_zuiger,0.896)
eq5 = Eq(r_katrol,0.2)
eq6 = Eq(I_katrol,3)
eq7 = Eq(p_atm,10**5)
eq8 = Eq(g,10)
eq9 = Eq(T, 273)
eq10 = Eq(V,A_cilinder*h_zuiger)
eq11 = Eq(R, 8.31)
eq12 = Eq(a, F_touw*r_katrol**2/I_katrol)
eq13 = Eq(a, (-F_touw+(-p_He+p_atm)*A_cilinder)/m_zuiger+g)
eq14 = Eq(a, (p_He-p_atm)*A_cilinder/m_cilinder+g)
eq15 = Eq(n, p_He*V/(R*T))
eq16 = Eq(M_He, 4) #g/mol
eq17 = Eq(m_He, n*M_He) #g
solve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8, eq9, eq10, eq11,eq12,eq13,eq14,eq15,eq16,eq17], dict=True)

[{A_cilinder: 0.00400000000000000,
F_touw: 300.000000000000,
I_katrol: 3.00000000000000,
M_He: 4.00000000000000,
R: 8.31000000000000,
T: 273.000000000000,
V: 0.00358400000000000,
a: 4.00000000000000,
g: 10.0000000000000,
h_zuiger: 0.896000000000000,
m_He: 0.394952019500756,
m_cilinder: 25.0000000000000,
m_zuiger: 25.0000000000000,
n: 0.0987380048751890,
p_He: 62500.0000000000,
p_atm: 100000.000000000,
r_katrol: 0.200000000000000}]

[ukster]

Dat is het juiste antwoord

[wnvl1]

Leuke vraag zou zijn of het ook exact oplosbaar is met drukgradiënt; want die moet er zijn in een versnellend gas.

[wnvl1]

Vertrekpunt zou kunnen zijn

$$a=\frac{dv}{dt}=-\frac{\frac{dp}{dx}}{\rho}$$

Probleem is echter dat de \(\rho\) van het Helium gas niet constant is.

[wnvl1]

Uit de ideale gaswet volgt

$$\rho = \frac{m}{V}=\frac{nM}{V}=\frac{pM}{RT}$$

Invullen in de laatste vergelijking uit de vorige post geeft

$$a=-\frac{\frac{dp}{dx}}{\frac{pM}{RT}}$$

$$\frac{apM}{RT}=-\frac{dp}{dx}$$

De valversnelling g moet eigenlijk nog afgetrokken worden van de versnelling a. g zorgt ook voor een drukgradiënt. Dit leidt dan tot

$$\frac{(a-g)pM}{RT}=-\frac{dp}{dx}$$

Door deze uitdrukking te integreren over de zuigerhoogte heb je het drukverschil tussen boven en onderkant van de cilinder en kan de oefening opgelost worden met verrekening van de drukgradiënt veroorzaakt door de versnelling.

[ukster]

rekening houdend met een drukverandering over de lengte van de cilinder.
Uitgaande van een Lineaire drukgradiënt levert dat toch dezelfde versnelling op?

drukgradient.png (2.49 KiB) 2548 keer bekeken

[wnvl1]

Een voorwaarde die opgelegd wordt in de oefening is dat zuiger en cilinder met dezelfde versnelling naar beneden gaan. In het geval van een drukgradiënt in het gas, gaat de druk op de zuiger bovenaan verschillen van de druk op de cilinder onderaan. Dit gaat leiden tot een andere oplossing.