parametrisatie

[ukster]

Een deeltje beweegt langs x²+y² = 12-xy
Op tijdstip t=0 bevindt het deeltje zich in (2,2)

Wat is de exacte trigonometrische parametrische representatie van het deeltje?

[wnvl1]

Dat is een oefening op het reduceren van kegelsneden.

$$\begin{bmatrix}
x & y\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 0.5\\
0.5 & 1\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x\\
y\\
\end{bmatrix}

-12=0
$$

De determinant van de matrix is positief, dus het is een ellips.

De eigenvectoren zijn

\begin{bmatrix}
1\\
1\\
\end{bmatrix}

en

\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
\end{bmatrix}

Dit zijn dan ook de richtingen van de assen van de ellips.

Als je nu een transformatie doet naar

$$\begin{bmatrix}
x'\\
y'\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
\end{bmatrix}$$

dan wordt de uitdrukking simpeler.

Je gaat dus x vervangen door \(\frac{x'+y'}{2}\) en y door \(\frac{y'-x'}{2}\).

Je hebt nu een ellips zonder een gemengde term met x' en y'. Deze kan je gemakkelijk parametriseren en je rekent terug.

[ukster]

ik had iets simpelers voor ogen met waarschijnlijk hetzelfde resultaat als jouw voorgestelde bewerking.
Parametervergelijkingen:
cirkel:
x(t)=a.cos(t)
y(t)=a.sin(t)
Ellips:
x(t)=a.cos(t)
y(t)=b.sin(t) (b≠a)
Scheve Ellips:
x(t)=a.cos(t)-b.sin(t)
y(t)=a.cos(t)+b.sin(t)
(b>a scheef naar links, t verstrijkt tegen de klok in.)
(b<a scheef naar rechts, t verstrijkt met de klok mee.)

x²+y²+xy-12=0 is een scheef naar links Ellips.
dan is het een kwestie van de coefficienten a en b bepalen. (t=0 op (2,2))

scheve ellips.png (14.46 KiB) 1491 keer bekeken

[ukster]

De parametrisatie is nodig voor dit related rate probleem:
Met welke snelheid verandert de afstand van het deeltje tot het punt (3,0) op t=π/4

[wnvl1]

In de originele vraag wordt een baan vastgelegd. Er wordt niets gezegd waaruit je een snelheid kan afleiden. Ik denk dat je de vraag moet herformuleren.

[ukster]

De opgave is goed/fout geformuleerd en mijn interpretatie ervan is goed/fout?

A particle is moving around an ellipse.
At any time t, its x-and y-coordinates are given by x(t)=….. and y(t=……..

a. At what rate is the particle’s distance to the fixed point (..,..) changing at any time t ?
b. At what rate is the distance changing when t=…..?

[wnvl1]

De vraag naar een parametrisatie heeft geen eenduidig antwoord. Je kan een deeltje hebben dat met constante snelheid de ellips doorloopt. Je kan een deeltje hebben dat traag begint en snel eindigt of omgekeerd. Dat is het probleem.

[ukster]

A particle is moving around an ellipse 4x² +16y²=64
At any time t, its x-and y-coordinates are given by x(t)=4cost and y(t)=2sin(t)
At what rate is the particle’s distance to the fixed point (2,0) changing at any time t?
At what rate is the distance changing when t=π/4 ?

Dan heeft deze uitwerking dus geen enkele betekenis?

Maple geeft dit resultaat voor de ellips uit het vraagstuk.

[ukster]

met bijbehorende tijdstippen.

[ukster]

Dezelfde ellipsvorm, verschillend resultaat (n∈R)
x(t)=2cos(nt)-2√3sin(nt)
y(t)=2cos(nt)+2√3sin(nt)

[wnvl1]

Ik heb het niet helemaal uitgerekend, maar de assen van jouw ellips lijken wel te corresponderen met de assen die ik heb gevonden.

Je kan er wel een goede vraag van maken als je er nu aan toe voegt dat de absolute snelheid van het deeltje constant blijft en je legt die snelheid dan evt vast.

In je formulering van 14:29 vandaag, is de vraagstelling wel goed.

Voor reducties van kegelsneden kan je hier meer info vinden, mocht je de techniek niet kennen.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Reductie_ ... 0gebaseerd.