Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek

[Rik Speybrouck]

Stel je construeert een gelijkbenige driehoek met een basiszijde van bv 15 cm en  twee basishoeken van 79.9898431656865 graden dan is de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde  gelijk aan de gulden snede zijn (wortel(5)+1)/2.. Ik heb de basishoek op zoveel cijfers na de komma opgegeven om de gulden snede juist te krijgen bij een verwerking bv excel. Bovendien krijg je in de dergelijke driehoek naast de gulden snede nog een mooie vaststelling in die zin dat de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven cirkel en de omschreven cirkel juist gelijk is aan 2 * de straal van de ingeschreven cirkel. Deze punten zijn gelegen op de zogenaamde Euler lijn waarop ook het orthocentrum en het zogenaamde middelpunt van de driehoek is gelegen. Dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel op de Euler lijn ligt doet zich slechts voor bij een gelijkbenige of gelijkzijdige driehoek
 
Rik 

[tempelier]

Hoe had je gedacht die driehoek te construeren?

[Rik Speybrouck]

wetende dat die verhouding bestaat tot de gulden snede kan je gemakkelijk een opstaande zijde gaan berekenen. Daarna neem je de helft van de driehoek met twee bekende zijden zijnde helft basis en opstaande zijde plus een rechte hoek en bent er
 
 

[tempelier]

Ik vroeg hoe je hem dacht te construeren.

[Rik Speybrouck]

Ik vroeg hoe je hem dacht te construeren.

Vertrekkende van het feit dat de deling van de wortel van de opstaande zijde en de wortel van de basiszijde gelijk is aan de gulden snede zijnde (wortel 5+1)/2 is het toch gemakkelijk om de opstaande zijde te gaan berekenen in het geval van bv een basiszijde van 15 cm komen we op 39.27050..... cm. Daarna bekijken we even de helft van de driehoek met dus een basis van 7.5 cm en schuine zijde van 39.27.... cm en een rechte hoek. Dan is de helft van de tophoek gelijk aan 
boogsin van (7.5/39.27) * sin van 90° of 11.010 graden. De basishoeken zijn gezien de gelijkvormigheid beiden gelijk aan 180° - 90° - 11.010...° of 78.98.. graden.
Voor de berekening van de afstand tussen de 2 middelpunten bestaat een mooie formule U misschien wel bekend namelijk : afstand is
1-8*sin(a/2)*sin(b/2)*sin(c/2), hiervan neemt u de wortel en daarna vermenigvuldigen met de straal van de omschreven cirkel. Wanneer U alles met voldoende cijfers na de komma verwerkt in excel dan zal u zien dat deze afstand perfect gelijk is aan 2 de straal van de ingeschreven cirkel.

[EvilBro]

Wanneer U alles met voldoende cijfers na de komma verwerkt in excel dan zal u zien dat deze afstand perfect gelijk is aan 2 de straal van de ingeschreven cirkel.

Dit kan niet. De representatie van Excel werkt niet met oneindige precisie, dus je kunt niet aantonen dat de afstand perfect gelijk is aan 2 (met Excel).

[tempelier]

Nogmaals:
een constructie doe je met een ongemerkte liniaal en een passer.
 
Wat je geeft is een berekening.
 
Die trouwens niet correct is daar je de hoek waarde afrond dus klopt de rest ook niet meer precies.

[Rik Speybrouck]

Dit kan niet. De representatie van Excel werkt niet met oneindige precisie, dus je kunt niet aantonen dat de afstand perfect gelijk is aan 2 (met Excel).

Hierbij een bewijs van zowel de gulden snede verhouding inclusief  de afstand tussen de middelpunten die verwerkt zit in de redenering

[Rik Speybrouck]

ps de m verwijst wel degelijk naar de rand van de kleine cirkel het centroid van de driehoek ligt er ietsje buiten
 

[EvilBro]

... dat de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven cirkel en de omschreven cirkel juist gelijk is aan 2 * de straal van de ingeschreven cirkel.

Is de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek een van de twee gelijkbenige zijdes? Of iets anders?

[Rik Speybrouck]

Is de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek een van de twee gelijkbenige zijdes? Of iets anders?

klopt ac op de tekening

[EvilBro]

Stel je hebt een gelijkbenige driehoek:

driehoek.png (41.13 KiB) 1071 keer bekeken

\(r = |AB| = |AF|\)

\(s = |DE|\)

\(b = |BE| = |EF|\)

\(R = |CH|\)

dan krijg je voor de ingeschreven cirkel:

\(s^2 = (r + \sqrt{r^2 + (s - b)^2})^2 + b^2\)

\(s^2 - b^2 = r^2 + 2 r \sqrt{r^2 + (s - b)^2} + r^2 + (s - b)^2\)

\(s^2 - b^2 = 2 r^2 + 2 r \sqrt{r^2 + (s - b)^2} + s^2 - 2 b s + b^2\)

\(2 b s - 2 b^2 = 2 r^2 + 2 r \sqrt{r^2 + (s - b)^2}\)

\(b (s - b) - r^2 = r \sqrt{r^2 + (s - b)^2}\)

\(b^2 (s - b)^2 - 2 r^2 b (s - b) + r^4 = r^2 (r^2 + (s - b)^2) = r^4 + r^2 (s - b)^2\)

\(b^2 (s - b) - 2 r^2 b = r^2 (s - b)\)

\(b^2 (s - b) = r^2 (s + b)\)

\(r = b \sqrt{\frac{s - b}{s + b}}\)

en voor de omschreven cirkel:

\(s^2 = b^2 + (R + \sqrt{R^2 - b^2})^2\)

\(s^2 - b^2 = R^2 + 2 R \sqrt{R^2 - b^2} + R^2 - b^2\)

\(s^2 - 2 R^2 = 2 R \sqrt{R^2 - b^2}\)

\(s^4 - 4 s^2 R^2 + 4 R^4 = 4 R^2 (R^2 - b^2) = 4 R^4 - 4 R^2 b^2\)

\(s^4 - 4 s^2 R^2 = - 4 R^2 b^2\)

\(s^4 = 4 R^2 (s^2 - b^2)\)

\(R = \sqrt{\frac{s^4}{4 (s^2 - b^2)}}\)

Dus:

\(|AH| = \left|\sqrt{\frac{s^4}{4 (s^2 - b^2)} - b^2} - b \sqrt{\frac{s - b}{s + b}}\right|\)

Als je nu jouw driehoek invoert:

\(s = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\)

\(b = \frac{1}{2}\)

Dan kom je niet uit op wat jij zegt. Zie jij of ik een rekenfout heb gemaakt?

[EvilBro]

Ik heb mijn fout gevonden. Ik had gemist dat er stond "de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde". De berekening is dus goed, maar de waarden die ik invul niet.

Stel we introduceren alfa als de verhouding tussen opstaande zijde en basiszijde:

\(\alpha = \frac{s}{2 b}\)

Hiermee wordt (met vereenvoudigen):

\(|AH| = b \left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{\sqrt{4 \alpha^2 - 1}}\right|\)

Deze afstand uitgedrukt in ingeschreven cirkelstralen wordt dan:

\(\left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{2 \alpha - 1}\right|\)

Als je nu de juiste verhouding neemt:

\(\alpha = \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)

dan:

\(\left|\frac{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1)}{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1}\right| = \left|\frac{(3 + \sqrt{5}) \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = \left|\frac{\frac{8 + 4 \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = 2\)

[Rik Speybrouck]

Ik heb mijn fout gevonden. Ik had gemist dat er stond "de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde". De berekening is dus goed, maar de waarden die ik invul niet.

Stel we introduceren alfa als de verhouding tussen opstaande zijde en basiszijde:

\(\alpha = \frac{s}{2 b}\)

Hiermee wordt (met vereenvoudigen):

\(|AH| = b \left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{\sqrt{4 \alpha^2 - 1}}\right|\)

Deze afstand uitgedrukt in ingeschreven cirkelstralen wordt dan:

\(\left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{2 \alpha - 1}\right|\)

Als je nu de juiste verhouding neemt:

\(\alpha = \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)

dan:

\(\left|\frac{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1)}{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1}\right| = \left|\frac{(3 + \sqrt{5}) \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = \left|\frac{\frac{8 + 4 \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = 2\)

Ik had uw berekening even uitgevoerd en ze klopt inderdaad met mijn formule die ik in het begin heb geplaatst maar werkt met driehoeksmeetkunde. Ik ben akkoord dat excel geen afdoend bewijs is voor een bewijs van de gulden snede vandaar het bewijs op de foto's waar geen enkele link is met een excel waarde, enkel dat de afstand tussen het incenter en het circumcenter gelijk is aan 2  keer de straal van de straal van de ingesloten cirkel wat resulteert  in een gulden snede tussen de zijden