[wiskunde] Poissonverdeling

[Val232rio Cosemans]

Dag allemaal

Onderstaand vraagstuk krijg ik maar niet opgelost. (Ik kom niet het antwoord uit dat mijn cursus voorstelt)

Vraag: Een bepaalde geneeskundige behandeling blijkt in 98,5% van de gevallen effectief te zijn. Bepaal de kans dat van een groep van 200 willekeurig gekozen patiënten er minstens 197 baat hadden bij de behandeling.

Ik ben als volgt te werk gegaan: (2 pogingen)

Poging 1:

k = aantal patiënten die baat hadden bij de behandeling

Gevraagde: P(k >= 197)

Steekproef van 200 personen, en gemiddeld 98,5% die baat hebben bij de behandeling. Dit doet mij denken dat µ = 197 en variantie = 197

Mijn cursus stelt dat als µ > 10 dat je normale verdeling mag gebruiken. Dat is hier het geval.

Omdat we van discrete verdeling naar een continue verdeling gaan moet ik een continuïteitscorrectie doen.  P(k >= 197) wordt dus P(k > 196,5)

Vervolgens moet 196,5 nog normaliseren.   z = (196,5 - 197)/sqrt(197)   ---> P(z > -0,04) = 1 - P(z < -0,04) = 1 - 0,48405 = 0,51595

P(k >= 197) = 0,51595 of 51,60% (Mijn cursus geeft 0,6472 of 64,72% als juiste antwoord)

Poging 2: quasi dezelfde werkwijze maar bij het normaliseren  ( rekening gehouden met dat het een steekproef van n = 200 is)

z = (196,5 - 197) / ( (sqrt(197))/(sqrt(200)) )      z = -0,504    P( z > -0,504) = 1 - P( z < -0,504) = 1 - 0,3085 = 0,6915 of 69,15% (Dit komt iets dichter in de buurt)

Wat is nu eigenlijk juist en wat niet?

Groetjes

Valerio

 

[Xilvo]

Waarom gebruik je hier de Poissonverdeling?

[Val232rio Cosemans]

Waarom gebruik je hier de Poissonverdeling?

Deze vraag heeft mij aan het denken gezet. Bij nader inzien lijkt dit vraagstuk toch meer een binomiale verdeling. De behandeling is effectief of niet effectief en de uitkomst voor de ene patiënt beïnvloed de uitkomst een andere patiënt niet (onafhankelijk). Ik kan de normale verdeling dan niet gebruiken omdat niet aan de criteria hiervoor voldaan is, maar ik kan wel de poissonverdeling gebruiken omdat: de kans p vrij klein is; n vrij groot is en n*p constant is.

Ik kom het antwoord nu wel uit!

Als ik stel dat: de kans p op ineffectieve behandeling = 0,015  en µ = np = 0,015*200 = 3     en ik zeg dat k het aantal ineffectieve behandelingen is.

Dan is P(k<=3) de kans die we zoeken en dat zou dan volgens mijn tabellenboekje 0,6472 of 64,72% moeten zijn.

 

[Xilvo]

Dat klopt.
 
Excel geeft als resultaat bij gebruik van de binomiaalverdeling zelf (niet benaderd, al weet ik natuurlijk niet wat Excel onder de motorkap doet) 0,647236.

[Val232rio Cosemans]

Hieronder is er een vraagstuk waar ik niet goed aan uit kan. 

Vijftig goederen uit een populatie met 1% slechte exemplaren worden getest.

a) Hoe groot is de kans dat er geen exemplaar wordt gevonden in deze steekproef? (Deze heb ik al opgelost, en moet 60,65% zijn)

b.) Hoe groot is de kans dat een goede partij ten onrechte wordt afgekeurd als het steekproefvoorschrift luidt: n=50; p=1?

Wat is p nu? Wordt met p een kans bedoeld of gewoon een aantal? Bedoelen ze met 'partij' steekproef?
Hoe kan ik nu uitmaken of iets onterecht wordt afgekeurd of niet, ik weet toch niet wanneer er wel terecht wordt afgekeurd?
 
 
Hoe begin ik aan b)?(Een duwtje in de juiste richting is genoeg)

 

[Xilvo]

"...als het steekproefvoorschrift luidt: n=50; p=1?"
 
Ja, soms is het begrijpen van wat de schrijver bedoelt lastiger dan het sommetje zelf.
 
Ik heb evenmin een idee wat bedoeld wordt. Zijn er geen voorbeeld-opgaven waar iets soortgelijks in staat?

[mathfreak]

Zou die p misschien op het aantal procent slechte exemplaren betrekking kunnen hebben? Kijk in dat geval eens wat je krijgt als je p = 0,01 stelt.

[Val232rio Cosemans]

Zou die p misschien op het aantal procent slechte exemplaren betrekking kunnen hebben? Kijk in dat geval eens wat je krijgt als je p = 0,01 stelt.

Dat zou kunnen, maar verder dan het volgende geraak ik niet.

Steekproefvoorschrift: n=50  en p = 1%

 Kan ik dan zeggen dat je een goede partij hebt wanneer het aantal slechte exemplaren kleiner of gelijk is aan 1% van 50. En dat je een slechte partij hebt wanneer het aantal slechte exemplaren groter is dan 1%  van 50? 

k = aantal slechte exemplaren.

Dus je zou dan een goede partij hebben als k = 0 en een slechte partij als k >=1 

De kans op  een goede partij = P(k=0) = 60,65% en de kans op een slechte partij is P(k>=1) = 1 - P( k < 1) = 1 - P(k=0) = 1 - 0,6065 = 0,3935 of 39,35%

Ik weet niet of dit oké is.

Hoe kan ik verder nu? 

 
 

"...als het steekproefvoorschrift luidt: n=50; p=1?"
 
Ja, soms is het begrijpen van wat de schrijver bedoelt lastiger dan het sommetje zelf.
 
Ik heb evenmin een idee wat bedoeld wordt. Zijn er geen voorbeeld-opgaven waar iets soortgelijks in staat?

Nee, dit is de eerste keer dat ik zoiets tegenkom in mijn cursus.

[Xilvo]

"Dus je zou dan een goede partij hebben als k = 0 en een slechte partij als k >=1 "
 
Je weet maar nooit.
 
Misschien kun je die kans uitrekenen en vergelijken met het antwoord. Of zijn de uitkomsten niet gegeven?

[Val232rio Cosemans]

Ik zou 0,0902 als kans moeten uitkomen. 

Maar er is verder niets gegeven, over het terecht of onterecht afkeuren. Dus veel verder geraak ik niet, of ja ik zie het toch niet meteen.

[Beresteyn]

Is die 0,0902 niet de kans op een type 1 of 2 error?

[Val232rio Cosemans]

 de kans op een type 1 of 2 error?

Sorry, daar heb ik nog nooit van gehoord.

[Val232rio Cosemans]

Na er even afstand van te nemen, heb ik het volgende opgeschreven. 

Uit a) weten we dat de kans op een goede partij (aantal slechte exemplaren = 0) gelijk is aan 60,65%

Als ik nu bij b) stel dat het aantal onterecht afgekeurde partijen k binomiaal verdeeld is met n =50 en p=1% (steekproefvoorschrift)
En ik de poisson-benadering mag gebruiken. 

µ = n*p = 50*1% = 0,5

Dan is de kans dat een partij onterecht afgekeurd wordt = P(k=1) = 0,5*e^-0,5 = 30,33%  De kans dat het een goede partij is en dat die onterecht wordt afgekeurd is 60,65% * 30,33% = 18,39% (Dit is evenzeer niet het antwoord 0,0902 dat ze voorstellen in de cursus, maar ik neem de cursus met een korreltje zout omdat er ook nog altijd een fout zou kunnen staan in de cursus)

 

[mathfreak]

Sorry, daar heb ik nog nooit van gehoord.

Ben je bekend met het toetsen van hypothesen? In dat geval spreekt men van een fout van de eerste soort als de nulhypothese ten onrechte wordt verworpen, en van een fout van de tweede soort als de nulhypothese ten onrechte wordt aanvaard.
Omdat ik niet weet of er verder misschien een fout in de formulering van de opgave staat denk ik dat je beter je docent een keer om opheldering kunt vragen.

[Val232rio Cosemans]

Over hypothese toetsen werd wel gepraat in de cursus maar over die type 1 en 2 error niet. (Dat is nieuw voor mij).

Ik heb het eens opgezocht op internet en denk wel mee te zijn met hoe het werkt. Maar ik weet mijn alfa niet dus kan ik de kans gevraagd in b) toch niet bepalen?