Deze limiet hangt af van x:
- als x verschillend is van 0, is de limiet oneindig (en zegt het kenmerk dus divergent);
- als x gelijk is aan 0, heb je (n+1)*0 = 0 en is de limiet, ook voor n naar oneindig, 0 (en zegt het kenmerk dus convergent).
Merk op dat een machtreeks nooit overal divergent kan zijn, een machtreeks convergeert steeds in het centrum.
Volgens mij mag dat niet op die manier.
Want de linker limiet staat dan 0/0 en die vorm is niet gedefinieerd.
Men mag dus voor x=0 niet zo maar overstappen naar de rechter limiet.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Xilvo schreef:
Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.
Geen idee van welke functie dit de Taylorreeks is / zou zijn; het lijkt me veiliger om gewoon van een machtreeks te spreken: ik vermoed zelfs dat dat ook bedoeld wordt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Deze limiet hangt af van x:
- als x verschillend is van 0, is de limiet oneindig (en zegt het kenmerk dus divergent);
- als x gelijk is aan 0, heb je (n+1)*0 = 0 en is de limiet, ook voor n naar oneindig, 0 (en zegt het kenmerk dus convergent).
Merk op dat een machtreeks nooit overal divergent kan zijn, een machtreeks convergeert steeds in het centrum.
PS.
Ik ken dit archief wel, maar wist niet dat er dit soort boeken op stonden.
Ik haal daar veel oude films van af zoals Frankenstein met Boris Karlof.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Xilvo schreef:Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.
Geen idee van welke functie dit de Taylorreeks is / zou zijn; het lijkt me veiliger om gewoon van een machtreeks te spreken: ik vermoed zelfs dat dat ook bedoeld wordt.
Aanvulling: kennelijk wel en sterker nog, elke machtreeks (met reële coëfficiënten) is de Taylorreeks van een (voldoende gladde) functie.
Ik denk echter nog steeds dat het in de context van deze opgave niet de bedoeling was om de reeksen te zien als Taylorreeksen van een bepaalde functie, maar enkel om het convergentiegebied van de machtreeksen als dusdanig te bepalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
TD schreef:
Aanvulling: kennelijk wel en sterker nog, elke machtreeks (met reële coëfficiënten) is de Taylorreeks van een (voldoende gladde) functie.
Ik denk echter nog steeds dat het in de context van deze opgave niet de bedoeling was om de reeksen te zien als Taylorreeksen van een bepaalde functie, maar enkel om het convergentiegebied van de machtreeksen als dusdanig te bepalen.
Dank. Ik weet niet wat in deze context 'voldoende glad' is maar een functie waarvan bij x=0 de n-de afgeleide (n!)2 is zal zeker niet bijzonder glad zijn
Het woordje 'Taylorreeks' in de opgave biedt verder ook geen informatie waar de student iets aan heeft bij het oplossen.
Xilvo schreef:Dank. Ik weet niet wat in deze context 'voldoende glad' is maar een functie waarvan bij x=0 de n-de afgeleide (n!)2 is zal zeker niet bijzonder glad zijn
Toch wel, blijkbaar: C∞. Tenzij je "buikgevoel glad" en niet "wiskundig glad" bedoelt .
Xilvo schreef:Het woordje 'Taylorreeks' in de opgave biedt verder ook geen informatie waar de student iets aan heeft bij het oplossen.
Akkoord, vandaar dat ik ook al aangaf dat het volgens mij niet zo bedoeld is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)