Wanneer is een lineaire afbeelding injectief?

[Klaas99]

hallo

Wanneer is een lineaire afbeelding precies injectief en hoe kan je dit het makkelijkst aantonen/berekenen?

alvast bedankt

[TD]

Een afbeelding (lineair of niet) is injectief als gelijke beelden enkel het resultaat van gelijke argumenten kunnen zijn, of met andere woorden: verschillende argumenten worden steeds op verschillende beelden afgebeeld.

Hoe je dat het best of eenvoudigst kan tonen, hangt af van wat jullie hierover al gezien hebben. Als dat enkel de definitie is, zul je het daarmee moeten doen. Maar misschien heb je handige stellingen/eigenschappen gezien waardoor je dit gemakkelijker kan nagaan.

[TD]

Bekijk bijvoorbeeld de lineaire afbeeldingen:

\(f:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R^2}:(x,y) \mapsto (x-y,x+y)\)

en

\(g:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R^2}:(x,y) \mapsto (x-y,0)\)

Dan is f injectief, maar g niet. Inderdaad: ga na dat f(x,y) = f(a,b) enkel mogelijk is als (x,y) = (a,b), terwijl bijvoorbeeld g(0,0) = g(1,1) terwijl (0,0) en (1,1) verschillend zijn.

[Klaas99]

oke ik snap het, super bedankt!!

[TD]

Oké, graag gedaan.