vierkant
- Berichten: 891
vierkant
Zou voor de verhouding uiteengezet in de tekening ergens een verhouding bestaan bv tov van de zijde van het vierkant of een of andere verhouding die mooi kan uitgedrukt worden of zou dit gewoon onmogelijk zijn. Ik zie het nog niet direct iemand anders misschien.
-
- Berichten: 463
Re: vierkant
Via lijn- en cirkelformules kom ik vooralsnog slechts uit op een numerieke benadering:
Definieer:
A=(0,0); B=(0,-28); C=(28,0); D=(28,-28); E=(xe,ye); F=(xf,-28)
l = de lijn door A, E en F:
[oplossing 1]
Omdat ye op cirkel C ligt, geldt:
Uit |EF| = |EC| volgt dan
xe^6 - 252*xe^5 + 23716*xe^4 - 943936*xe^3 + 15366400*xe^2 - 137682944*xe + 481890304 = 0
met naast de 4 complexe oplossingen 2 reele, waarvan de onze:
xe ~= 7.0037122920523058687471072523177134430
[oplossing 2]
Via de midelloodlijn op FC:
xf^6 - 112*xf^5 + 3920*xf^4 - 175616*xf^3 + 4917248*xf^2 - 137682944*xf + 1927561216
met voor ons relevante oplossing
xf ~= 20.695823449659689864994808138914160621
In beide gevallen moet het gevraagde quotient
met onze oplossing:
q ~= 2.8334232212247727262360546483973556556
Wordt vervolgd ??
Definieer:
A=(0,0); B=(0,-28); C=(28,0); D=(28,-28); E=(xe,ye); F=(xf,-28)
l = de lijn door A, E en F:
\(l: \; y=\frac{-28}{\text{xf}}\cdot x = \frac{\text{ye}}{\text{xe}}\cdot x\)
en C de cirkel met middelpunt D en straal 28:
\(C: \; (x-28)^2 + (y+28)^2 = 28^2\)
[oplossing 1]
Omdat ye op cirkel C ligt, geldt:
\(\text{ye}=\sqrt{56\cdot \text{xe} - \text{xe}^2} -28\)
waardoor
\(\text{xf} = -28\cdot \frac{\text{xe}}{\text{ye}}\)
ook is uit te drukken in xe.Uit |EF| = |EC| volgt dan
\(14\text{xe}^2+\text{xe}\cdot \text{ye} \cdot (\text{xe} + \text{ye}) + \text{ye}^3 = 0\)
ofwel volledig uitgedrukt in xe:xe^6 - 252*xe^5 + 23716*xe^4 - 943936*xe^3 + 15366400*xe^2 - 137682944*xe + 481890304 = 0
met naast de 4 complexe oplossingen 2 reele, waarvan de onze:
xe ~= 7.0037122920523058687471072523177134430
[oplossing 2]
Via de midelloodlijn op FC:
\(m: \; y=\left(\frac{\text{xf}}{28} - 1\right)\cdot x -\frac{\text{xf}^2-28^2}{56}-14\)
dan wordt E het snijpunt van lijnen l en m:
\(\text{xe} = \frac{\text{xf}^3}{2\text{xf}^2-56\text{xf}+1568}\)
en
\(\text{ye} = \frac{-28\text{xf}^2}{2\text{xf}^2-56\text{xf}+1568}\)
Als we dit invullen in de cirkelvergelijking van C krijgen we een 6e-graadsvergelijking in xf:xf^6 - 112*xf^5 + 3920*xf^4 - 175616*xf^3 + 4917248*xf^2 - 137682944*xf + 1927561216
met voor ons relevante oplossing
xf ~= 20.695823449659689864994808138914160621
In beide gevallen moet het gevraagde quotient
\(q = \frac{BF}{FD}=\frac{\text{xf}}{28-\text{xf}}\)
voldoen aan
\(2q^6 + 2q^5 - 9q^4 - 24q^3 -28q^2 - 16q - 4 = 0\)
(noot: opvallend eenvoudige coefficienten!)met onze oplossing:
q ~= 2.8334232212247727262360546483973556556
Wordt vervolgd ??
- Berichten: 4.552
Re: vierkant
Ik heb wat gestoeid met goniometrie en Pythagoras.
Helaas heb ik dat nog niet kunnen vinden.
Kan het zijn dat dit de relatie is tussen x, y en R ?
Om jouw vraag verder te kunnen beantwoorden moet het verband tussen x en y bekend zijn.Helaas heb ik dat nog niet kunnen vinden.
- Berichten: 4.320
Re: vierkant
Je kunt nemen R=1
Kies je een x dan is y nog min of meer vrij te kiezen.
Kies je een x dan is y nog min of meer vrij te kiezen.
- Berichten: 4.552
Re: vierkant
Beetje spelen met mijn formule en de gevonden waarde 2,8334 van RedCat kom ik voor R=10 uit op y=7,769 en x=2,608
Misschien kan RedCat e.e.a bevestigen?
Ik heb het nog es getekend en opgemeten ,maar het klopt toch niet denk ik![Verstrooid :?](./images/smilies/icon_e_confused.gif)
Misschien kan RedCat e.e.a bevestigen?
Ik heb het nog es getekend en opgemeten ,maar het klopt toch niet denk ik
![Verstrooid :?](./images/smilies/icon_e_confused.gif)
-
- Berichten: 463
Re: vierkant
Hier mijn waarden voor een 28x28 vierkant (zoals in het plaatje):
xe = 7.0037122920523058687471072523177134430
ye = -9.4755323292385925340471653755306530781
xf = 20.695823449659689864994808138914160621
yf = -28
EC = 23.035403413818503862530365151559489328
EF = 23.035403413818503862530365151559489328
(dus EC = EF)
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
(dus E en F liggen op 1 lijn door de oorsprong = A)
ED = 28.000000000000000000000000000000000000
(dus E ligt op de cirkel met middelpunt D en straal 28)
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557
En hier de schaling naar een 10x10 vierkant (R=10):
xe = 2.5013258185901092388382525901134690868
ye = -3.3841186890137830478739876341180903850
xf = 7.3913655177356035232124314781836287932
yf = -10
EC = 8.2269297906494656651894161255569604743
EF = 8.2269297906494656651894161255569604744
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
ED = 10.000000000000000000000000000000000000
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557
xe = 7.0037122920523058687471072523177134430
ye = -9.4755323292385925340471653755306530781
xf = 20.695823449659689864994808138914160621
yf = -28
EC = 23.035403413818503862530365151559489328
EF = 23.035403413818503862530365151559489328
(dus EC = EF)
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
(dus E en F liggen op 1 lijn door de oorsprong = A)
ED = 28.000000000000000000000000000000000000
(dus E ligt op de cirkel met middelpunt D en straal 28)
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557
En hier de schaling naar een 10x10 vierkant (R=10):
xe = 2.5013258185901092388382525901134690868
ye = -3.3841186890137830478739876341180903850
xf = 7.3913655177356035232124314781836287932
yf = -10
EC = 8.2269297906494656651894161255569604743
EF = 8.2269297906494656651894161255569604744
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
ED = 10.000000000000000000000000000000000000
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557
- Berichten: 891
Re: vierkant
Ik heb ondertussen nog een eigen interpretatie gemaakt. Ik moet alles nog proper samenvatten en zet het dan on line. Kan wel zijn dat het pas morgen zal zijn. Al bij al toch een niet zo eenvoudig probleem.RedCat schreef: ↑do 22 jul 2021, 00:12 Hier mijn waarden voor een 28x28 vierkant (zoals in het plaatje):
xe = 7.0037122920523058687471072523177134430
ye = -9.4755323292385925340471653755306530781
xf = 20.695823449659689864994808138914160621
yf = -28
EC = 23.035403413818503862530365151559489328
EF = 23.035403413818503862530365151559489328
(dus EC = EF)
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
(dus E en F liggen op 1 lijn door de oorsprong = A)
ED = 28.000000000000000000000000000000000000
(dus E ligt op de cirkel met middelpunt D en straal 28)
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557
En hier de schaling naar een 10x10 vierkant (R=10):
xe = 2.5013258185901092388382525901134690868
ye = -3.3841186890137830478739876341180903850
xf = 7.3913655177356035232124314781836287932
yf = -10
EC = 8.2269297906494656651894161255569604743
EF = 8.2269297906494656651894161255569604744
ye/xe = -1.3529299797182226051532382888216663212
yf/xf = -1.3529299797182226051532382888216663212
ED = 10.000000000000000000000000000000000000
q = BF/FD = xf/(xd-xf) = 2.8334232212247727262360546483973556557
- Berichten: 891
Re: vierkant
Hierbij zoals beloofd een andere uitwerking van dit probleem met zelfde resultaat op het einde
-
- Berichten: 463
Re: vierkant
In bovenstaande post geef je 1 vergelijking met 2 onbekenden (x en y).
We hebben dus nog een vergelijking in x en y nodig om het probleem op te lossen.
(Terzijde: zoals je zelf al schreef is er mogelijk wat mis met je vergelijking: je waarde van x lijkt te kloppen, de waarde van y niet.)
Hier nog een trigonometrische poging, gebaseerd op jouw plaatje:
Kies R = 1, en noem
\(\angle BAF = \alpha \;\;\; \Rightarrow \tan \alpha = 1-x\)
\(\angle DCF = \gamma \;\;\; \Rightarrow \tan \gamma = x\)
[1] In gelijkbenige driehoek CEF geldt dan:
\(\angle EFC = \alpha + \gamma = \angle ECF \;\;\; \Rightarrow \angle CEF = 180^\circ -2\alpha - 2\gamma\)
en omdat CF² = R² + x² = 1 + x² geldt volgens de cosinusregel op hoek CEF:
\(1+x^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 \cos(180^\circ - 2\alpha - 2\gamma)\)
\(1+x^2 = y^2 + y^2 + 2y^2 \cos(2\alpha + 2\gamma)\)
\(1+x^2 = 2y^2 \left( 1 + \cos(2\alpha + 2\gamma)\right)\)
\(1+x^2 = 2y^2 \left( 2\cos^2(\alpha +\gamma)\right)\)
\(y^2 = \frac{1+x^2}{4\cos^2(\alpha + \gamma)}\)
[2] En in gelijkbenige driehoek CDE geldt:
\(\angle DCE = \alpha + 2\gamma = \angle CED \;\;\; \Rightarrow \angle CDE = 180^\circ -2\alpha - 4\gamma\)
Hier geldt volgens de cosinusregel op hoek CDE:
\(y^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(180^\circ -2\alpha - 4\gamma)\)
en omdat R = 1:
\(y^2 = 2 \left( 1 + \cos(2\alpha + 4\gamma) \right)\)
\(y^2 = 4 \cos^2(\alpha + 2\gamma) \)
Uit [1] en [2] volgt
\(4 \cos^2(\alpha + 2\gamma) = \frac{1+x^2}{4\cos^2(\alpha + \gamma)}\)
\(16 \cos^2(\alpha + 2\gamma) \cos^2(\alpha + \gamma) -1 - x^2 = 0\)
Nu kunnen we deze formule omzetten naar een uitdrukking inx, cos(α), sin(α), cos(γ) en sin(γ),
vervolgens via trigonometrische gelijkheden in
x, tan(α) en tan(γ)
en tenslotten in uitsluitend machten van x (met behulp van tan(α) = 1-x en tan(γ) = x).
Hopelijk komt daar dan een gelijkheid met een lagere dan 6e graad van x uit.
Deze klus laat ik over aan een liefhebber.
Anderzijds kunnen we ook direct numeriek oplossen:
\(16 \cos^2(\text{atan}(1-x) + 2\; \text{atan}(x)) \cdot \cos^2(\text{atan}(1-x) + \text{atan}(x)) -1 - x^2 = 0\)
Dit levert x = 0.2608634482264... , waardoor we net als eerder vinden:
\(q = \frac{1-x}{x} = 2.83342322122477... \)
- Berichten: 209
Re: vierkant
Niet dat ik een liefhebber ben, maar dit kon vrij efficiënt:
Enkel de eerste factor (=exact de veelterm die Rik ook uitkwam) geeft reële oplossingen, waarvan één positief x ≈ 0.260863
\(-\frac{(x^6 - 2 x^5 + 8 x^3 - 11 x^2 + 10 x - 2) (x^6 - 2 x^5 + 8 x^4 - 16 x^3 + 21 x^2 - 14 x + 6)}{(x^2 + 1)^3 (x^2 - 2 x + 2)^2}\)
![Mr. Green :mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)
![Lachend :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
Enkel de eerste factor (=exact de veelterm die Rik ook uitkwam) geeft reële oplossingen, waarvan één positief x ≈ 0.260863
- Berichten: 4.552
Re: vierkant
@RedCat
Dank voor deze mooie uitwerking.
Van begin af aan had ik een trigonometrische oplossing voor ogen. Na (erg)veel pogingen lukte het maar niet de vereiste vergelijkingen te krijgen en gaf uiteindelijk de moed op![Droevig :(](./images/smilies/icon_e_sad.gif)
Dank voor deze mooie uitwerking.
Van begin af aan had ik een trigonometrische oplossing voor ogen. Na (erg)veel pogingen lukte het maar niet de vereiste vergelijkingen te krijgen en gaf uiteindelijk de moed op
![Droevig :(](./images/smilies/icon_e_sad.gif)
- Berichten: 891
Re: vierkant
zo beschikken we in feite over 2 benaderingen