derdegraads vergelijking

[aadkr]

hoe kan ik dit oplossen.

\(x^3-3\cdot x -4=0 \)

x moet liggen in de buurt van 2,15 ( door te proberen).

[RedCat]

Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Derdegraa ... _oplossing
Met in jouw geval
P = -3
Q = -4
ofwel
p = -1
q = 2
waardoor discriminant

\(D = q^2 + p^3 = 4-1 = 3 > 0\)

Dat geeft als enige reele oplossing (geval 3)

\(z_1 = \sqrt[3]{2+\sqrt{4-1}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{4-1}} \approx 2.195823345445647...\)

[ukster]

Wolfram Mathematica!

1.png (53.36 KiB) 999 keer bekeken

2.png (35.9 KiB) 999 keer bekeken

3.png (25.34 KiB) 999 keer bekeken

[RedCat]

Mooie substitutie!
Samengevat:

\(x^3+Px+Q=0\)

bovenstaande substitutie (ukster):

\(\left(y + \frac{\lambda}{y} \right)^3 + P\cdot\left(y + \frac{\lambda}{y} \right) +Q = 0\)

vermenigvuldig met y³:

\((y^2 + \lambda)^3 + P\cdot\left(y^4 + \lambda\cdot y^2 \right) +Q\cdot y^3 = 0\)

werk uit:

\(y^6+3y^4\lambda+3y^2\lambda^2 + \lambda^3 + Py^4 + P\lambda y^2 + Q y^3 = 0\)

\(y^6+(3\lambda + P)y^4 + Qy^3 + (3\lambda^2+P\lambda) y^2 + \lambda^3 = 0\)

Kies λ = -P/3 en we houden over:

\(y^6 + Qy^3 - \left( \frac{P}{3} \right)^3 = 0\)

waaruit we y³ met de abc-formule kunnen oplossen (en daarmee ook x kunnen bepalen).