cilinders

[ukster]

Drie identieke cilinders roteren met dezelfde hoeksnelheid rond parallelle centrale assen.
De assen bewegen naar elkaar toe, de cilinders raken elkaar zonder slip en er wordt nieuw evenwicht bereikt.

Welke fractie van de initiële kinetische rotatie energie blijft over?

Ik kan niet zo gauw een oplossing voor dit probleem bedenken!

drie cilinders.png (8.5 KiB) 2429 keer bekeken

[CoenCo]

De wet van behoud van impuls geldt ook voor rotatie. En aangezien alle cylinders even groot/zwaar zijn, hoef je niet eens het massatraagheidsmoment uit te rekenen.
https://nl.m.wikipedia.org/wiki/Traagheidsmoment

[wnvl1]

Op welk systeem pas je dan behoud van impulsmoment toe?
De drie cilinders tesamen? Kunnen de radialen krachten op de assen er niet voor zorgen dat er geen behoud van impuls moment is?

[Michel Uphoff]

Zonder rekenen kom ik hierop:

De kinetische energieën van rol 1 en 2 heffen elkaar op. Nu resteert er nog 1/3 Ek en 1 stilstaande rol (in feite 2) met het dubbele traagheidsmoment en de nog roterende rol 3. De helft van de kinetische energie van de combirol verdwijnt tegen de totale rotatie-energie van rol 3. Er blijft dus 1/3 van 1/3 = 1/9 van de oorspronkelijke kinetische energie over.

[Xilvo]

...de cilinders raken elkaar zonder slip en er wordt nieuw evenwicht bereikt.

Als ik dat lees als zonder wrijving, zonder dissipatie, dan zie ik niet hoe dit mogelijk is.

Neem aan dat de assen vastzitten op een grote "wereld".
Er is behoud van impulsmoment, impulsmoment van de drie cilinders plus wereld blijft gelijk.
Als die wereld groot genoeg is, zal de verandering van hoeksnelheid ω van die wereld heel klein zijn.
De verandering van rotatie-energie van die wereld, evenredig met ω², zal verwaarloosbaar worden.

Behoud van kinetische (rotatie-)energie betekent dan dat de hoeksnelheden van de cilinders gelijk blijven, alleen moet de rotatierichting van de middelste omkeren. Dat is niet mogelijk door ze tegen elkaar aan te schuiven.

[ukster]

Misschien is deze beschrijving beter..
Drie identieke cilinders draaien met dezelfde hoeksnelheid Ω om evenwijdige centrale assen. Ze worden samengebracht totdat ze elkaar raken, waarbij de assen parallel blijven. Een nieuwe stabiele toestand wordt bereikt waarbij een cilinder niet slipt ten opzichte van zijn buurman, zoals weergegeven in de figuur. Hoeveel van de oorspronkelijke spin kinetische energie is er nu nog over.

Van de toepassing van impulsmoment begrijp ik geen snars!

Impulsmoment en kinetische energie.png (20.15 KiB) 2260 keer bekeken

Bewonderenswaardig dat Michel Uphoff kans ziet het resultaat te vinden door pure redenatie!

[Xilvo]

Een nieuwe stabiele toestand wordt bereikt waarbij een cilinder niet slipt ten opzichte van zijn buurman, zoals weergegeven in de figuur.

Ik denk dat dit er moet staan:
Een nieuwe stabiele toestand wordt bereikt waarbij een cilinder niet meer slipt ten opzichte van zijn buurman.

Er moet even wat slip zijn waarbij energie in warmte wordt omgezet.

[ukster]

daar is in die uitwerking dus geen rekening mee gehouden of bewust of onbewust verwaarloosd.

[Xilvo]

daar is in die uitwerking dus geen rekening mee gehouden of bewust of onbewust verwaarloosd.

Voor impulsbehoud heb je dat niet nodig.
Maar als je 8/9 van de beginenergie verliest, dan kun je dat zeker niet verwaarlozen.

[ukster]

Goed,
nog begrijp ik geen snars van die impulsbehouduitwerking waaruit volgt dat de hoeksnelheid een factor 3 lager ligt
ik stel me zo voor dat als dat begrip er wel is voor twee cilinders,het inzicht er ook kan zijn voor 3, 4,5 etc. cilinders

[Xilvo]

Goed,
nog begrijp ik geen snars van die impulsbehouduitwerking waaruit volgt dat de hoeksnelheid een factor 3 lager ligt
ik stel me zo voor dat als dat begrip er wel is voor twee cilinders,het inzicht er ook kan zijn voor 3, 4,5 etc. cilinders

Die berekening is me ook niet helder, dan moet eerst duidelijk zijn wat er met de verschillende symbolen bedoeld wordt.

Wat het eindresultaat is, is niet zo moeilijk te begrijpen:
Breng alleen de twee linkse cilinders met elkaar in contact. Ze komen beide tot stilstand.
Breng dan de rechtse cilinder in contact. Ze gaan alle drie draaien met 1/3 van de snelheid die de linkse had, dat was ook de snelheid die ze alle drie oorspronkelijk hadden.

Dat is geen behoud van impulsmoment want ook dat van de cilinders daalt tot 1/9 van de oorspronkelijke waarde. Ze hadden samen 3.I.ω, na afloop is dat 1/3 .I.ω - 1/3 .I.ω + 1/3 .I.ω = 1/3 .I.ω.
Er is dus impulsmoment naar de "wereld", de achtergrond waaop de cilinders bevestigd zijn, overgedragen.

[Michel Uphoff]

Er is dus impulsmoment naar de "wereld", de achtergrond waarop de cilinders bevestigd zijn, overgedragen.

Als je je voorstelt dat de drie assen in een frame met twee rails schuiven en het geheel is in vrije val, dan zal het geheel met de klok mee gaan roteren.

[CoenCo]

Ik had begrepen dat je bij mechanismes (en ik zie hier 3 rollen expliciet zonder slip, die ik daarom als tandwielen en dus mechanisme beschouw) voor de wet van behoud van impulsmoment kijkt naar het assenstelsel in het mechanisme, en in dit geval dus de eindsituatie.

Dus in in het assenstelsel noem ik op basis van de eindsituatie \(\omega\) voor rol 1 en 3 rechtsom positief en voor rol2 linksom positief.

Eindsitutatie:
\(\omega_{1} I_1 + \omega_{2} I_2 + \omega_{3} I_3 = 3 \omega_{eind} I \)
Beginsituatie:
\(\omega_{1,begin} I_1 + \omega_{2,begin} I_2 + \omega_{3, begin} I_3\)
Hier is \(\omega_{2,begin}\) in de negatieve richting van het assenstelsel van het mechanisme dus:
\(\omega_{0} I_1 - \omega_{0} I_2 + \omega_{0} I_3 = \omega_{0} I\)

En daarmee komen we op:
\(3 \omega_{eind} I = \omega_0 I\)
\(\omega_{eind} = \frac{1}{3}\omega_0\)

Als je ditzelfde truukje doet met maar dan door in de eindsituatie 1 of 2 kleine massaloze tussenrollen te plaatsen, dan zal je zien dat het ineens best logisch werkt.

[Xilvo]

Ik had begrepen dat je bij mechanismes (en ik zie hier 3 rollen expliciet zonder slip, die ik daarom als tandwielen en dus mechanisme beschouw) voor de wet van behoud van impulsmoment kijkt naar het assenstelsel in het mechanisme, en in dit geval dus de eindsituatie.

Dus in in het assenstelsel noem ik op basis van de eindsituatie \(\omega\) voor rol 1 en 3 rechtsom positief en voor rol2 linksom positief.

Wil je met behoud van impulsmoment werken, dan mag je niet voor verschillende onderdelen een andere draairichting als positief beschouwen.
Met de definitie die je hanteert zouden de twee linkse cilinders in de beginsituatie samen een impulsmoment nul hebben.

Verder werkt behoud van impulsmoment hier niet, omdat impulsmoment wordt uitgewisseld met de "wereld", de achtergrond waarop de cilinders bevestigd zijn. Zoals Michel schrijft, het geheel gaat hierdoor rechtsom draaien met een snelheid afhankelijk van het traagheidsmoment van die "wereld".

[CoenCo]

...
Met de definitie die je hanteert zouden de twee linkse cilinders in de beginsituatie samen een impulsmoment nul hebben.
...

Correct. Als je de twee linker linker cilinders met elkaar in contact zou brengen, staan ze naderhand ook stil.

Ik weet niet of de terminologie correct is, maar het is wel de wijze waarop ik al mijn sommetjes opgelost kreeg
Mischien moet er een ander referentiestelsel dan de wereld gedefinieerd worden?