Een raakcirkel
- Moderator
- Berichten: 9.986
Re: Een raakcirkel
De afstand tussen twee punten in een euclidische tweedimensionale ruimte (daar hebben we het hier over) is altijd hetzelfde, ongeacht het coördinatensysteem dat je gebruikt.
- Berichten: 2.340
Re: Een raakcirkel
In je nieuwe coördinaten systeem heb je dus
$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/a & 0 \\
0 & 1/b
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
$$
De vergelijking van een cirkel
$$(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$$
wordt nu
$$(x'a-x_m)^2+(y'b-y_m)^2=r^2$$
dat wordt dus een ellips.
$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/a & 0 \\
0 & 1/b
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
$$
De vergelijking van een cirkel
$$(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$$
wordt nu
$$(x'a-x_m)^2+(y'b-y_m)^2=r^2$$
dat wordt dus een ellips.
- Berichten: 2.340
Re: Een raakcirkel
De metriek wordt
$$ds^2 = a^2dx'^2 + b^2dy'^2$$
De hoeken veranderen dus.
$$ds^2 = a^2dx'^2 + b^2dy'^2$$
De hoeken veranderen dus.
- Berichten: 2.340
Re: Een raakcirkel
De vergelijking van je schuine zijde c wordt
$$y'=1-x'$$
Je mag nu een punt gaan zoeken op deze rechte waarvoor geldt
$$y'b=x'a$$
Dus
$$\frac{a}{b}x'=1-x'$$
en we krijgen dan
$$x'=\frac{b}{a+b}$$
$$y'=\frac{a}{a+b}$$
en
$$x=y=\frac{ab}{a+b}$$
$$y'=1-x'$$
Je mag nu een punt gaan zoeken op deze rechte waarvoor geldt
$$y'b=x'a$$
Dus
$$\frac{a}{b}x'=1-x'$$
en we krijgen dan
$$x'=\frac{b}{a+b}$$
$$y'=\frac{a}{a+b}$$
en
$$x=y=\frac{ab}{a+b}$$
- Berichten: 4.545
Re: Een raakcirkel
efdee schreef: ↑vr 14 jan 2022, 22:28 Geen huiswerk.
Een rechthoekige driehoek heeft zijden a, b en c. De hoek tussen a en b is recht.
Hoe is de straal r van de cirkel te berekenen die a en b raakt en hoe vind je qua afstand waar diens middelpunt M op c ligt? (Dit is kennelijk niet de inwendige raakcirkel.)
- Berichten: 4.320
Re: Een raakcirkel
Dat is niet zo, er zijn dan nog steeds oneindig veel metrieken mogelijk.
De meest eenvoudige is. A en B punten van de ruimte X:
d(A,B)=1 als A ongelijk B.
d(A,B)=0 als A=B.
- Berichten: 4.320
Re: Een raakcirkel
Dat gaat sneller met de 2de as vergelijking.
bx+ay=ab
Met: x=y