Identiteit Dirac functie

[wnvl1]

Een identiteit die in "QFT in a nutshell" van Zee wordt gebruikt, is

$$\frac{1}{x+i\epsilon} =\mathcal{P}\frac{1}{x} -i\pi \delta(x)$$

Het bewijs begint met

$$\frac{1}{x+ i \epsilon}=\frac{x}{x^2+ \epsilon^2} - \frac{i\epsilon}{x^2+ \epsilon^2}$$

Dan staat er nog dat

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon}{x^2+ \epsilon^2} dx = \pi$$

Dat snap ik, maar het vervolg van het bewijs is onduidelijk. Er staat ook verder niet veel meer in het boek.

\(\mathcal{P}\) zou de principal value moeten zijn.

[wnvl1]

Het staat ook in

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf ... 13465.app6

uitgewerkt tussen F.6 en F.9, maar ook dat is mij niet duidelijk vanaf de stap

The alternative more mathematically correct way of writing (F.4) is to rewrite the ill-defined integral in the last line of (F.4) as twice the real part of (F.6):

[flappelap]

Ik zal er ook es naar kijken. Helpt dit,

http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph215/Plemelj18.pdf

?

[sensor]

Deltafunctie

\(\delta(x)\)

heeft een oneindige amplitude op een oneindig klein interval. Heuristisch is dan af te leiden dat de oppervlakte of integraal 1 is.

\(\int_{a}^{b} \delta(x) \,dx = 1 \)

Bewijzen is wat lastig maar verificatie is wel te doen bijvoorbeeld voor de tweede term.

\( \frac{-i\epsilon}{x^2+ \epsilon^2} = -i\pi \delta(x) \)

Neem nu aan beide kanten de integraal

\( \int_{a}^{b}\frac{-i\epsilon}{x^2+ \epsilon^2}\,dx = \int_{a}^{b} -i\pi \delta(x)\,dx \)

We hadden al

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon}{x^2+ \epsilon^2} dx = \pi\)

. Als je dat invult klopt de vergelijking voor beide kanten krijg je dan

\(-i\pi\)

[wnvl1]

Danku voor de hulp. Ik heb nu ook een gelijkaardige vraag teruggevonden op physicsforum.

https://www.physicsforums.com/threads/a ... on.327731/

De vergelijking die ik aanhaal moet blijkbaar geïnterpreteerd worden zoals

$$\lim_{\eta\to 0^+} \int\limits_{[-r,r]} \frac{f(x)}{x + i\eta} dx \quad=\quad \lim_{\epsilon\to 0^+} \int\limits_{[-r,-\epsilon]\cup [\epsilon,r]} \frac{f(x)}{x} dx \quad-\quad i\pi f(0)$$

Je moet er zelf bijdenken dat er geïntegreerd moet worden van min oneindig tot plus oneindig en dat er vermenigvuldigd moet worden met een f(x).
Dan wordt het natuurlijk al een heel stuk duidelijker. Zee geeft dat echter helemaal niet aan Dit is de desbetreffende pagina relatief in het begin van het boek.

[flappelap]

Tja, de identiteit bevat een delta-'functie' oftewel distributie, dus buiten een integraal heeft zo'n identiteit geen betekenis

Dat is het gevaar van al te coulant omgaan met distributies als waren het functies.

[wnvl1]

Ik heb zelf een achtergrond in de electronica. Dus al onze cursussen signaalanalyse en systeemtheorie vroeger stonden ook vol met Dirac-impulsen en impulstreinen (als je bvb gaat digitaliseren). De link dat je dat nu absoluut moet integreren en dat dat een verdeling is heb ik nooit gelegd.

[flappelap]

Ik heb zelf een achtergrond in de electronica. Dus al onze cursussen signaalanalyse en systeemtheorie vroeger stonden ook vol met Dirac-impulsen en impulstreinen (als je bvb gaat digitaliseren). De link dat je dat nu absoluut moet integreren en dat dat een verdeling is heb ik nooit gelegd.

Nee, en dat komt omdat je in bepaalde gevallen distributies als functies mag behandelen en dat geen problemen oplevert. Iets soortgelijks zie je b.v. in de kwantummechanica met oneindig-dimensionale Hilbertruimtes, waarin je lineaire algebra toepast alsof het eindig-dimensionale ruimten zijn. Vaak gaat dat prima, maar soms ook niet (neem bijv. maar eens het spoor van de Heisenbergrelatie [x,p]=ih).