bewijs

[ukster]

1.png (2.47 KiB) 3748 keer bekeken

Ik snap dat gedegen kennis van goniometrische identiteiten een vereiste is, maar Is dit nu zo lastig aan te tonen of zie ik iets over het hoofd?

[wnvl1]

Ik denk het eerste. Lijkt mij lastig.

[ukster]

Ja, cruciaal is het vinden van de expressie voor cosα
Dat zou moeten lukken door de regel van Cramer toe te passen op de herschreven vergelijkingen.

[ukster]

bewijsgang.png (14.2 KiB) 3517 keer bekeken

Nu nog het verband m=f(θ) uitzoeken en het bewijs is geleverd.

[wnvl1]

Ik weet niet af dat een stap vooruit is.

Aan alternatief wat zou kunnen werken is alles omzetten met de formules van de tangens van een halve hoek (t-formules).
Dan vertaalt het zich in een algebraïsch probleem. Best wel met een pc, het gaat om redelijk wat rekenwerk.

[ukster]

Gemaakte stap(pen):
de genoemde goniometrische identiteiten ingevuld:

[wnvl1]

Mooi. Dat is wel iets wat je niet zomaar in een kwartiertje puzzelen vindt. Dus zeker in de categorie lastig.

[Bart23]

De voorwaarde is equivalent met

\(\cos^3\theta+i\sin^3\theta=m(\cos(\alpha-3\theta)+i\sin(\alpha-3\theta))\)

Stel

\(z=\cos\theta+i\sin\theta,\omega=\cos\alpha+i\sin\alpha\)

Het rechterlid is dan

\(m\frac{w}{z^3}\)

Het linkerlid is:

\(\cos^3\theta-i^3\sin^3\theta=(\cos\theta-i\sin\theta)(\cos^2\theta+i\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta)\)

\(=(\cos\theta-i\sin\theta)(\cos^2\theta+\frac{i}{2}\sin2\theta)\)

\(=\frac{1}{z}\left(\frac{z^2+\frac{1}{z^2}}{2}+\frac{i}{2}\frac{z^2-\frac{1}{z^2}}{2i}\right)=\frac{1}{4z}\left(3z^2+\frac{1}{z^2}\right)\)

Beide leden maal 4z³ geeft:

\(3z^4+1=4m\omega\Rightarrow\omega=\frac{1}{4m}(3z^4+1)\Rightarrow\cos\alpha=\frac{1}{4m}(3\cos4\theta+1)\)

Verder is (met halveringsformules)

\(m^2=\cos^6\theta+\sin^6\theta\)

\(=\frac{1}{8}(1+3\cos2\theta+3\cos^2 2\theta+\cos^3 2\theta+1-3\cos2\theta+3\cos^2 2\theta-\cos^3 2\theta\)

\(=\frac{1}{4}(1+3\cos^2 2\theta)=\frac{1}{8}(5+3\cos4\theta)\Rightarrow\cos4\theta=\frac{8m^2-5}{3}\)

Dit invullen in de betrekking voor cos α geeft het gevraagde.