driehoek

[Rik Speybrouck]

Hoe zouden we best de zijde van de driehoek AFG berekenen als de zijde van de vijfhoek is gekend, zie tekening

[tempelier]

Ik heb wel een methode gevonden maar die ia wat omslachtig dus zal je wel iets snellers in gedachte hebben.

Ik denk dat je bedoeld dat B en E hoekpunten van het Pentagon zijn.

Laat een loodlijn van uit A neer op de zijde CD voetpunt X.

Trek de lijn BX en beschouw de vierhoek XCBA.

In driehoek XCB zijn nu alle element te bereken.

Stap vandaar over naar driehoek XBA en bereken AB.

PS.
Ik denk dat BA zich dan in radicalen laat uitdrukken.

[ukster]

x is de zijde van de driehoek
AE is de zijde van het pentagon

zijde.png (3.82 KiB) 1762 keer bekeken

[Rik Speybrouck]

hoe kom je daar aan, redelijk indrukwekkend

[tempelier]

Ik heb tenslotte met Maple dit gevonden:

-1/40*3^(1/2)*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2)+1/80*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2)*5^(1/2)*(2+6*5^(1/2))^(1/2)+1/8*2^(1/2)*3^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2)+1/16*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2)*(2+6*5^(1/2))^(1/2)

Ik had niet meer de energie hem om te zetten naar itex.
Wel is het antwoord het zelfde al men doorrekent.

Ik heb het gekopieerd helaas zitten er daardoor een paar kleine missers in.
Zal er misschien nog aan werken.

[ukster]

hoe kom je daar aan, redelijk indrukwekkend

Niet meer dan de sinusregel in ΔAME en ΔAMG

[Rik Speybrouck]

waar plaats je de m

[ukster]

M middelpunt cirkel op middelloodlijn door E

[Bart23]

Ik kon niet goed volgen hoe de andere 2 methoden gingen, maar ik vind het zo:
Noem M het middelpunt van de raakcirkel in B (en F). Ik neem voor het gemak de lengte van zijde vijfhoek = 1.
Sinusregel in driehoek AMB geeft:

\(MB = \frac{1}{2\cos(54)} ~\textrm{en}~AM=\frac{\sin18}{\sin54}BM=\tan18\)

Met de cosinusregel in driehoek AMF (en MF=MB):

\(BM²=x²+AM²-2xAM\cos30\)

Naar 1 lid herleiden geeft vierkantsvgl:

\(x^2-\sqrt{3}\tan18x+(\tan^2 18-\frac{1}{4\cos^2 54})=0\)

De discrimant kan je vereenvoudigen tot

\(1+\tan^2 54-\tan^2 18=1+\frac{4}{5}\sqrt{5}\)

Zo komen we tot de oplossing (de negatieve oplossing vervalt):

\(x = \frac{1}{10}\left(\sqrt{75 - 30 \sqrt{5}} - \sqrt{5 (5 + 4 \sqrt{5})}\right)\)

wat ongeveer 1.11638188205775 is.

[tempelier]

Ik heb er nog eens over nagedacht.
Het bleek zonder gonio te kunnen.

Voor het probleem doet die cirkel met daarin die gelijkzijdige driehoek niet ter zaken en kan worden weggelaten.

Trek nu diagonaal BE deze is dan: \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) van de gulden snede.

Voort zijn alle hoeken nu bekend

driehoek BEA is gelijkbenig en daar laat zich dan AB uit bepalen.

[Bart23]

?
Bereken je nu de lengte AB van een zijde van de vijfhoek, terwijl die gegeven is?
Ik heb de indruk dat je denkt dat AB en AF even lang zijn (en dat A het middelpunt van de cirkel is).