[natuurkunde] Rekenmachine geeft geen goed antwoord

[Herman4]

Een raket wordt van het aardoppervlak omhoog geschoten. De maximale hoogte die de raket ten opzichte van het aardoppervlak bereikt is 90 km. De raket weegt 4,5×10^3 kg.

Bereken met behulp van de formule voor de gravitatie-energie de energie die nodig is om de raket van het aardoppervlak naar 90 km hoogte te brengen.

Uitwerking
De energie die nodig is om de raket van de aarde naar 90 km hoogte te brengen, is het verschil in gravitatie-energie.
∆Eg = Eg,90 - Eg,0
De gravitatie-energie op het aardoppervlak is de gravitatie-energie op afstand R_aarde. Op 90 km hoogte gebruik je de afstand R_aarde + 90×10^3 m.
Eg,0 = -G × (m × M_aarde ÷ R_aarde) en Eg,90 = -G × (m × M_aarde ÷ R_aarde + 90×10^3)
∆Eg = -G × (m × M_aarde ÷ R_aarde + 90×10^3) - (-G × (m × M_aarde ÷ R_aarde)
= G × m × M_aarde × ((-1 ÷ R_aarde + 90×10^3) + (1 ÷ R_aarde))
G = 6,67384×10^-11 N m^2 kg^-2 (zie BINAS tabel 7)
m = 4,5×10^3 kg
M_aarde = 5,972×10^24 kg (zie BINAS tabel 31)
R_aarde = 6,371×10^6 m (zie BINAS tabel 31)
Invullen levert:
∆Eg = -6,67384×10^-11 × 4,5×10^3 × 5,972×10^24 × ((-1 ÷ 6,371×10^6 + 90×10^3) + (1 ÷ 6,371×10^6))
= 4,06×10^9 J
Afgerond: ∆Eg = 4,1×10^9 J

Als ik deze berekening -6,67384×10^-11 × 4,5×10^3 × 5,972×10^24 × ((-1 ÷ 6,371×10^6 + 90×10^3) + (1 ÷ 6,371×10^6)) invul op mijn rekenmachine krijg ik -3,921419162×10^9. Dit is afgerond 3,9×10^9, maar de uitwerking zegt dat het 4,1×10^9 moet zijn. Wat gaat er mis met mijn rekenmachine? Ik heb een Casio Classwiz fx-82EX.

[irArjan]

Als ik de orde grootte afschat door gewoon de exponenten op te tellen krijg ik: -11 + 3 + 24 + 4 = 20, maar 6.7*4.5*5.9= 178 wat je nog 2 orde groottes geeft, dat is 22. Het totaal is dus iets in de orde grootte van 10^22, en dus iig niet -3.9x10^9 of -4.1x10^9.

Als ik de berekening copy paste in Matlab krijg ik -1.614176920368*10^23. Dus ik heb er ergens nog een orde grootte bij gekregen.

Het is enorm handig om jezelf aan te leren om een orde grootte af te schatten, nu zit je er 14 orde groottes naast, daar zou je je geen rekenmachine voor hoeven te gebruiken om daar achter te komen. De kans is ook enorm klein dat het aan je rekenmachine ligt...

Ik heb de rest van de berekening niet gecheckt

[Xilvo]

Invullen levert:
∆Eg = -6,67384×10^-11 × 4,5×10^3 × 5,972×10^24 × ((-1 ÷ 6,371×10^6 + 90×10^3) + (1 ÷ 6,371×10^6))
= 4,06×10^9 J
Afgerond: ∆Eg = 4,1×10^9 J

Je mag niet zomaar het verschil van de noemers invullen.
\(\frac{G M}{R_1}-\frac{G M}{R_2} \neq \frac{G M }{R_1 - R_2}\)

Ik kom met de gegeven waardes op 3,92E9 J uit.

[irArjan]

Als ik bovenstaande formules invul kom ik inderdaad op 3.91e+09.

Deze stap klopt niet:
∆Eg = -G × (m × M_aarde ÷ R_aarde + 90×10^3) - (-G × (m × M_aarde ÷ R_aarde)
= G × m × M_aarde × ((-1 ÷ R_aarde + 90×10^3) + (1 ÷ R_aarde))

Het is ook erg handig om jezelf aan te leren om zo lang mogelijk in symbolen te blijven rekenen en pas als allerlaatste naar getallen te gaan. Ook kan je beter niet met ÷ rekenenm maar gewoon deelstrepen gebruiken. Dan zie je snel genoeg dat je op een cruciale plek wat haakjes bent vergeten. Met \( H_{raket}\) de hoogte van de raket. Zoiets dus:
\[
\Delta Eg = -G \left[\frac{m M_{aarde}}{R_{aarde}+H_{raket}}\right] - \left( -G \left[\frac{m M_{aarde}}{R_{aarde}}\right] \right) = \ ...
\]

[Pa Pinkelman]

Als je de berekening vereenvoudigd. G= 10 m/s² en uitgaat van E is M*G*H dan kom je uit op 4,05 * 10⁹ Joule. Afgerond 4,1 * 10⁹

Alleen hou je er dan geen rekening dat de zwaartekracht afneemt als je hoger gaat.
Bij 90 km is het effect klein en krijg je via de ingewikkelde formule op bijna het zelfde antwoord.

Ik denk dat het antwoordmodel uitgaat van de vereenvoudigingen.

[Pa Pinkelman]

Als ik de orde grootte afschat door gewoon de exponenten op te tellen krijg ik: -11 + 3 + 24 + 4 = 20, maar 6.7*4.5*5.9= 178 wat je nog 2 orde groottes geeft, dat is 22. Het totaal is dus iets in de orde grootte van 10^22, en dus iig niet -3.9x10^9 of -4.1x10^9.

Als ik de berekening copy paste in Matlab krijg ik -1.614176920368*10^23. Dus ik heb er ergens nog een orde grootte bij gekregen.

Het is enorm handig om jezelf aan te leren om een orde grootte af te schatten, nu zit je er 14 orde groottes naast, daar zou je je geen rekenmachine voor hoeven te gebruiken om daar achter te komen. De kans is ook enorm klein dat het aan je rekenmachine ligt...

Ik heb de rest van de berekening niet gecheckt

10^23 joule is bizar veel energie. Genoeg om een object van 10^17 kg 100 km om hoog te brengen. Dat komt neer op een rotsblok van circa 30 km. Of de energie die in 2500 kubieke km olie zit.

[Xilvo]

Als je de berekening vereenvoudigd. G= 10 m/s² en uitgaat van E is M*G*H dan kom je uit op 4,05 * 10⁹ Joule. Afgerond 4,1 * 10⁹

Alleen hou je er dan geen rekening dat de zwaartekracht afneemt als je hoger gaat.
Bij 90 km is het effect klein en krijg je via de ingewikkelde formule op bijna het zelfde antwoord.

Ik denk dat het antwoordmodel uitgaat van de vereenvoudigingen.

Als je de simpele formule gebruikt met de juiste waarde voor g (niet G, die letter staat voor de gravitatieconstante!) aan het aardoppervlak, dan kom je niet aan die 4,1E9 J.
De versnelling van de zwaartekracht is op 90 km hoogte ruim 2,5% afgenomen. Geen groot verschil maar ook niet te verwaarlozen.