Afbeeldingsmatrix Lineaire Transformatie

[Capsicum]

Kan iemand mij uitleggen hoe ze aan de standaardmatrix T_st en P_C komen ? Ik vind alleen de eerste twee rijen van P_C

Gegeven
\[ B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]
is een basis voor \( \mathbb{R}^2 \), en
\[ C = \{1 - t^2, t + t^2, 2 + t\} \]
is een basis voor \( P_2 \).

De lineaire transformate \( T: P_2 \to \mathbb{R}^2 \) is gegeven door \( T(\mathbf{p}(t)) = \begin{bmatrix} p(0) \\ p'(0) \end{bmatrix} \).

We weten dat :

\[
T_{\text{st}} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]
en
\[ P_{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

[Capsicum]

Okee ik zie nu hoe ze op P_C komen, maar de standaard matrix \(
T_{\text{st}} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\) begrijp ik nog niet, zijn dat gewoon de twee basisvectoren gerelateerd met B (wat trouwens \( B = \left\{
\begin{bmatrix}
3 \\
2 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\right\} \) moet zijn), en de derde kolom is leeg omdat er maar 2 zijn ?

[RedCat]

\(\small p(t) = a + bt + ct^2\)

\(\small p'(t) = b + 2ct\)

waardoor

\(\small p(0) = a\)

\(\small p'(0) = b\)

Afbeelding T is dus gedefineerd als

\(\small T(p(t)) = T\left(\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\)

en we zoeken T_st waarvoor geldt:

\(\small \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = T_{st} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\)

[Capsicum]

Heel erg bedankt !!