Arbeid
Moderator: Rhiannon
- Berichten: 2.456
Re: Arbeid
Mijn Euler Lagrange vergelijkingen waren fout, het moeten totale afgeleiden naar x zijn geen partiële.
- Berichten: 2.456
Re: Arbeid
Ik kom dan uit op
$$110xq_1 + 110xq_1q_1^\prime=\frac{d}{dx}(28x^3+55xq_1^2)=84x^2+55q_1^2+110xq_1q_1^\prime$$
en
$$10q_2 + 10q_2^\prime=\frac{d}{dx}(10q_2)=10q_2^\prime$$
Maar dan kom ik nog altijd maar aan 2 integratieconstanten en ik heb er 4 nodig.
$$110xq_1 + 110xq_1q_1^\prime=\frac{d}{dx}(28x^3+55xq_1^2)=84x^2+55q_1^2+110xq_1q_1^\prime$$
en
$$10q_2 + 10q_2^\prime=\frac{d}{dx}(10q_2)=10q_2^\prime$$
Maar dan kom ik nog altijd maar aan 2 integratieconstanten en ik heb er 4 nodig.
- Berichten: 2.456
Re: Arbeid
Ik maakte mij ook de bedenking dat je het raadsel kan herformuleren als
$$L(x, q_1, q_2, q_1^{\prime}, q_2^{\prime}, \lambda) = 28x^3+55xq_1^2+10q_2 + (28x^3+55xq_1^2) q_1^{\prime} +10q_2 q_2^{\prime}+\lambda \sqrt{1+q_1^{\prime 2}+q_2^{\prime 2}}$$
Je komt dan aan een L die er als volgt uitziet, maar lost dat het probleem van de ontbrekende integratieconstanten op?Een deeltje ondervindt een kracht F met de componenten:
Fx=28x3+55xy2+10z
Fy=28x3+55xy2
Fz=10z
Wat is de minimale arbeid verricht door het krachtveld om een deeltje te verplaatst vanuit de oorsprong naar het punt (x0,y0,z0)=(10,26,15)
De lengte van het pad is 20.
$$L(x, q_1, q_2, q_1^{\prime}, q_2^{\prime}, \lambda) = 28x^3+55xq_1^2+10q_2 + (28x^3+55xq_1^2) q_1^{\prime} +10q_2 q_2^{\prime}+\lambda \sqrt{1+q_1^{\prime 2}+q_2^{\prime 2}}$$
- Berichten: 2.456
Re: Arbeid
Ik denk het wel, want we krijgen dan in onze Lagrangevergelijking een tweede afgeleide, dus twee integratieconstanten per Lagrangevergelijking en dus vier in totaal en dat correspondeert met de 4 randvoorwaarden.
ALs je de padlengte dus vastlegt, lijkt het mij een mooi raadsel met een goed gedefinieerde uitkomst.
Nu nog oplossen...
ALs je de padlengte dus vastlegt, lijkt het mij een mooi raadsel met een goed gedefinieerde uitkomst.
Nu nog oplossen...
- Berichten: 4.614
Re: Arbeid
Ik heb het gewijzigd probleem voorgelegd aan Chatgpt.
antwoord: De minimale arbeid door de kracht F verricht terwijl het deeltje zich kromlijnig verplaatst vanuit de oorsprong naar het punt (10,26,15) langs een pad met een lengte van 40, is ongeveer -11892,841 Joule
Zou Chatgpt het correcte antwoord hebben gegeven? dat zou toch wat zijn zeg.
antwoord: De minimale arbeid door de kracht F verricht terwijl het deeltje zich kromlijnig verplaatst vanuit de oorsprong naar het punt (10,26,15) langs een pad met een lengte van 40, is ongeveer -11892,841 Joule
Zou Chatgpt het correcte antwoord hebben gegeven? dat zou toch wat zijn zeg.
- Moderator
- Berichten: 10.085
Re: Arbeid
Wat bedoel je hier met de lengte van het pad? In een rechte lijn is het al 31,64...wnvl1 schreef: ↑zo 03 mar 2024, 13:20 Ik maakte mij ook de bedenking dat je het raadsel kan herformuleren als
Een deeltje ondervindt een kracht F met de componenten:
Fx=28x3+55xy2+10z
Fy=28x3+55xy2
Fz=10z
Wat is de minimale arbeid verricht door het krachtveld om een deeltje te verplaatst vanuit de oorsprong naar het punt (x0,y0,z0)=(10,26,15)
De lengte van het pad is 20.
- Berichten: 2.456
Re: Arbeid
Ik had alleen maar snel naar de x coördinaat gekeken. Beter 40 van maken zoals ukster al had gedaan.
- Moderator
- Berichten: 10.085
Re: Arbeid
Als ik het traject in twee rechte lijnen opsplits, door de z-waarde halverwege naar -5,7 te brengen (de projectie op het x-y-vlak blijft recht), dan zakt de totale arbeid een heel, heel klein beetje. De padlengte is dan 40.
Dat ChatGPT de arbeid negatief zou krijgen neem ik voorlopig met een grote korrel zout. Ik weet uit ervaring dat het een zeer onbetrouwbaar sujet is.
Dat ChatGPT de arbeid negatief zou krijgen neem ik voorlopig met een grote korrel zout. Ik weet uit ervaring dat het een zeer onbetrouwbaar sujet is.
- Berichten: 2.456
Re: Arbeid
Ik kom dan op
$$110xq_1 + 110xq_1q_1^\prime=\frac{d}{dx}(28x^3+55xq_1^2+\frac{\lambda q_1^\prime}{\sqrt{1+q_1^{\prime2}+q_2^{\prime2}}})$$
en
$$10q_2 + 10q_2^\prime=\frac{d}{dx}(10q_2+\frac{\lambda q_2^\prime}{ \sqrt{1+q_1^{\prime2}+q_2^{\prime2}}} )$$
en dan \(\lambda\) elimineren uit
$$\int_0^{10} \sqrt{1+q_1^{\prime 2}+q_2^{\prime 2}} dx = 40$$
Randvoorwaarden zijn
\(q_1(0)=0\)
\(q_2(0)=0\)
\(q_1(10)=26\)
\(q_2(10)=15\)
Het aantal vrije parameters klopt nu wel, maar hoe je dat stelsel van differentiaalvergelijkingen oplost, zal chatgpt mij eens moeten uitleggen.
$$110xq_1 + 110xq_1q_1^\prime=\frac{d}{dx}(28x^3+55xq_1^2+\frac{\lambda q_1^\prime}{\sqrt{1+q_1^{\prime2}+q_2^{\prime2}}})$$
en
$$10q_2 + 10q_2^\prime=\frac{d}{dx}(10q_2+\frac{\lambda q_2^\prime}{ \sqrt{1+q_1^{\prime2}+q_2^{\prime2}}} )$$
en dan \(\lambda\) elimineren uit
$$\int_0^{10} \sqrt{1+q_1^{\prime 2}+q_2^{\prime 2}} dx = 40$$
Randvoorwaarden zijn
\(q_1(0)=0\)
\(q_2(0)=0\)
\(q_1(10)=26\)
\(q_2(10)=15\)
Het aantal vrije parameters klopt nu wel, maar hoe je dat stelsel van differentiaalvergelijkingen oplost, zal chatgpt mij eens moeten uitleggen.