Orthogonale diagonaliseerbaarheid

[jan_alleman]

A is diagonaliseerbaar als het een basis heeft van eigenvectoren, we kunnen dan makkelijk een (diagonaal)matrix construeren t.o.v. de nieuwe basis. zij B de matrix van basisverandering, dus

\(D=B^{-1}AB\)

.

Maar als je de nieuwe basis orthonormaal maakt (gaat sowieso, Gram-Schmidt), dan hebben we een nieuwe basis, zeg dan dat de matrix verandering (van de eerste (dus niet basis van eigenvectoren) basis) C is. Dus

\(C^{-1}AC\)

is weer een diagonaalmatrix.

Maar die C is orthogonaal WANT

\(C^{T}=C^{-1}\)

.

A is nu ook orthogonaal diagonaliseerbaar.

"Bereken, indien mogelijk, voor elk van de volgende matrices A een matrix P zodat

\(P^{-1}AP\)

een diagonaalmatrix is. Indien A zefls orthogonaal diag is, bepaal dan een orthogonale matrix P zodat ... een diagonaal matrix is"

Nu is mn vraag als iets diagonaliseerbaar is, is het dan niet sowieso orthogonaal diagonaliseerbaar ? :s

[TD]

Nu is mn vraag als iets diagonaliseerbaar is, is het dan niet sowieso orthogonaal diagonaliseerbaar ? :s

Misschien ben je in de war met het volgende resultaat: een reële, symmetrische nxn-matrix heeft steeds n orthogonale eigenvectoren (en dus lineair onafhankelijk en dus is de matrix diagonaliseerbaar).

[jan_alleman]

Nu is mijn vraag dan: wat betekenet orthogonaal diagonaliseerbaar ?

[Klintersaas]

Een n x n-matrix A is orthogonaal diagonaliseerbaar als er een orthogonale matrix B bestaat waarvoor B^-1AB een diagonaalmatrix is.

Verder is een matrix A orthogonaal diagonaliseerbaar als en slechts als A symmetrisch is.

[jan_alleman]

Heeft u mijn tekst gelezen (het eerste bericht) ?

[Klintersaas]

Heeft u mijn tekst gelezen (het eerste bericht) ?

Jazeker, en ik weet dat ik in feite iets heb verteld dat je al wist, maar als je vraagt:

Nu is mijn vraag dan: wat betekenet orthogonaal diagonaliseerbaar ?

dan is mijn post het antwoord. I.v.m. je eerdere vraag:

Nu is mn vraag als iets diagonaliseerbaar is, is het dan niet sowieso orthogonaal diagonaliseerbaar ? :s

Neen.

Om een (vierkante) matrix A diagonaliseerbaar te laten zijn, moet er een inverteerbare matrix B zijn, waarvoor B^-1AB is een diagonaalmatrix.

Om een (vierkante) matrix A orthogonaal diagonaliseerbaar te laten zijn, moet er een orthogonale matrix B zijn, waarvoor B^-1AB is een diagonaalmatrix.

In het eerste geval gaat het om een inverteerbare matrix, in het tweede geval om een orthogonale matrix. En een orthogonale matrix mag dan wel inverteerbaar zijn, een inverteerbare matrix is niet steeds orthogonaal.

[jan_alleman]

Idd, dat is juist hetzelfde als wat ik niet lang geleden ben te weten gekomen.

Bedankt sinterklaas