Determinant van hogere orde matrices

[Lathander]

In onze cursus staat er enkel de regel van Kramer beschreven, doch ik zie niet in hoe deze toepasbaar is voor matrice hoger dan de 4de orde.

als ik bijvoorbeeld de determinant van een 7x7 matrix wil bepalen, hoe ga ik dan te werk?

Bestaat er een aparte regel of moet ik overstappen op blokmatrices?

Edit: dan besef ik nu ook ineens dat ik met hetzelfde probleem zit voor het berekenen van de inverse van zulke matrices, sinds daar ook de regel van Kramer voor wordt gebruikt

[TD]

Cramer is toch om stelsels op te lossen, met behulp van determinanten? Dat heeft met het berekenen van de determinant zelf niets te maken. Je kan elke determinant uitrekenen door te ontwikkelen naar een rij of kolom, zo verlaag je stelselmatig de orde. Het vereenvoudigt de berekeningen als je door middel van eigenschappen van determinanten, eerst wat nullen kan creëren.

[Lathander]

euhm, okay, sorry, ik heb het fout opgegeven, de methode die wij gebruiken in onze cursus is de ontwikkelingsformule van Laplace.

Cramer heb ik op internet gelezen toen ik wat opzocht over matrices, heb me vergist

ontwikkelingsformule van laplace:

De determinant van een

\( n * n\)

matrix A is het getal:

\( \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot A_{ij}\)

met

\(a_{ij}\)

=

\( (-1)^{i+j} \cdot det M_{ij}\)

met de matrix

\( M_{ij}\)

in deze definitie, bekomen uit A door het schrappen van de i-de rij en de j-de kolom

[TD]

Dat is precies de ontwikkeling in kleinere determinanten (minoren), dat werkt voor nxn.

[Lathander]

nja, het is het einge dat in onze cursus staat, dus ik neem aan dat ze van ons niet verwachten zulke grote matrices te kunnen oplossen

[TD]

Hoewel het voor grote determinant vooral veel en vervelend rekenwerk is, wordt het niet speciaal moeilijker. Via die ontwikkeling ga je immers steeds naar determinanten van lagere orde (bvb tot 2 of 3) en die kan je bepalen. Dus of het nu een 4x4 of een 7x7 is, de moeilijkheid verhoogt niet, alleen de hoeveelheid werk.

[JLievense]

Ik heb op 28 juli a.s een toelatingsexamen Wiskunde en één van de onderdelen betreft matrices. Kent iemand een boek waarmee ik de basis van matrices kan leren?

Bij voorbaat dank.

[Klintersaas]

Je zou één van de Van Basis tot Limiet-boeken kunnen gebruiken (Matrices en stelsels).

Even terug ontopic (alhoewel ik betwijfel of de topicstarter nog iets heeft aan mijn antwoord):

Voor het bepalen van determinanten van 3x3-matrices kan je ook de iets minder bekende regel van Sarrus gebruiken. Deze regel stelt het volgende:

\(\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right| = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{23} \cdot a_{32} \cdot a_{11} - a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12}\)

[TD]

Een ander (Nederlands) boek: Vectoren en matrices (van "van de Craats").

Wat Sarrus betreft: leer liefst niet de regel uit je hoofd zoals Klintersaas die hierboven geeft. De regel is in deze vorm vrij 'nutteloos', want waarom zou je zoiets uit je hoofd leren? Het is pas interessant (of handig...) als je het bijbehorende geheugensteuntje onthoudt en gebruikt, zie daarvoor de link...