[wiskunde] Exponentieel verdeelde wachttijd

[Fruitschaal]

Hmm, als ik nu alles invul krijg ik:

\(P(V \leq v) = (1 - e^{-\lambda v})(1 - e^{-\lambda v}) = e^{-2\lambda v}-2e^{-\lambda v} + 1\)

Dus

\(P(V > v) = 2e^{-\lambda v} - e^{-2\lambda v}\)

en ik zie hier geen voor mij bekende verdeling in.

Edit:

Ik heb wat op Wikipedia gekeken en het lijkt op de hyperexponentiële verdeling:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Hyperexpon ... _verdeling

In dit geval

\(p_1 = 2, \lambda_1 = \lambda, p_2 = -1, \lambda_2 = 2\lambda\)

.

Zou dit kunnen?

[Fruitschaal]

Ondertussen ben ik verder gegaan, dus ik weet nog steeds niet of de twee berichten hierboven kloppen. Maar goed:

c) Druk het moment T waarop Z klaar is, uit in U en C en bepaal de kansverdeling van T.

Nou, het leek me dat T = min{A,B} + C = U + C.

Dan

\(f_T(t) = \int f_U(u) \cdot f_C(t - u) du\)

Dat invullen geeft:

\(f_T(t) = \int_{0}^{t} 2\lambda e^{-2\lambda u} \cdot \lambda e^{-\lambda(t - u)}du\)

.

Dit uitwerken leverde mij op:

\(f_T(t) = -2\lambda e^{-2\lambda t} + 2\lambda e^{-\lambda t}\)

Dus

\(P(T \leq t) = \int_{0}^{t} f_T(t) dt = -2e^{-\lambda t} + e^{-2\lambda t} - 1\)

.

Dus:

\(P(T > t) = 2e^{-\lambda t} - e^{-2\lambda t} + 2\)

Dit is ook geen hyperexponentiële verdeling, dus er gaat wat fout maar ik weet niet wat.

Hulp (en ook nog voor voorgaande berichten)?

[Drieske]

Hoe kan een kans groter dan 1 zijn of negatief? Je kans klopt wel. Volgens mij is dat ook geen bekende verdeling. Je kunt wel bewijzen dat het dezelfde verdeling is als X + (Y/2). Maar of je daar vrolijker van wordt .

[Fruitschaal]

Hoe kan een kans groter dan 1 zijn of negatief? Je kans klopt wel. Volgens mij is dat ook geen bekende verdeling. Je kunt wel bewijzen dat het dezelfde verdeling is als X + (Y/2). Maar of je daar vrolijker van wordt .

Maar wat gaat er dan fout?

[Drieske]

Waarom gaat er wat fout?

[Fruitschaal]

Dus het is wel een hyperexponentiële verdeling (kortom: mijn antwoord op b is juist)?

[Drieske]

Je antwoord is juist ja. Daarmee bedoel ik: je kans klopt. Maar waarom moet het een hyperexponentiële verdeling zijn? Dat is gewoon niet zo...

[Fruitschaal]

Oké, ik dacht dat je de verdeling ook moest benoemen, maar dat staat helemaal niet in de vraag. Sorry sorry

En hoe zit het met c)?

[Drieske]

Ook dat lijkt me te kloppen. Maar ook hier geen hyperexponentiële.

[Fruitschaal]

Ook dat lijkt me te kloppen. Maar ook hier geen hyperexponentiële.

Okay.

Ik ben nog niet zeker over die kansen. Zitten die wel tussen 0 en 1? Ik heb het ingevuld voor een paar willekeurige labda's (0.1, 1, enz.) en ze komen niet tussen 0 en 1 uit.

[Drieske]

Normaal wel.. Kijk hier maar eens bij puntje 1.2.5.

[Fruitschaal]

Normaal wel.. Kijk hier maar eens bij puntje 1.2.5.

Hmm, wat vertelt dat mij?

[Drieske]

Er staat toch: positieve parameters die tot 1 sommeren?

[Fruitschaal]

Oké, dus er is een extra criterium. Maar dit is geen hyperexponentiële verdeling

[Fruitschaal]

En dan heb ik nog een laatste vraag:

d) Druk de kans

\(\mu\)

dat Z niet als laatste klaar is, uit in U, V en C, en bepaal

\(\mu\)

.[/b]

In woorden: Wat is de kans dat persoon Z, die naar een loket gaat als X of Y klaar is, eerder klaar is dan Y of X respectievelijk. Het moment dat ze tegelijkertijd klaar zijn, is dus max{A,B} = min{A,B} + C. Dus er moet gelden dat

\(\max\{A,B\} > \min\{A,B\} + C\)

Dus:

\(V > U + C\)

.

Moet ik dan de kans

\(\mu = P(U + C < v)\)

bepalen?