[wiskunde] Extremen bepalen van functie

[ForcefielD]

De wortel werk je weg door aan de andere kant te kwadrateren.



Dit is dan weer als volgt,



Als dit klopt ga ik het morgen nog eens op m'n gemakje reviewen.

De conclusie die ik dan kan trekken is dat de functie maar 1 extreme heeft.

[aadkr]

Je hebt links en rechts van het = teken gekwadrateerd

Je komt tot de conclusie dat x=1/4

Volgens mij is dat uitstekend

Dus voor x=1/4 heeft de grafiek van de funktie een maximum of een minimum

Maar hoe controleren we dat .

En is dit wel zo dat voor x=1/4 een exstreme waarde optreedt

[Xenion]

De 'truc' om teller en noemer van die breuk gelijk te maken werkt uiteraard, maar TS heeft duidelijk niet dat niveau/inzicht.

Ik zou je aanraden om eens grondig te herhalen hoe je vergelijkingen moet oplossen, want dit wordt echt als basiskennis gezien. Zie bijvoorbeeld de microcursus op dit forum.

Zelf zie ik het erg 'visueel'. Ik zie het als dingen 'van kant wisselen'. + wordt -, * wordt /, etc.

Netjes gezegd: je mag bij beide leden van de vergelijking een zelfde getal optellen/aftrekken, je mag beiden leden van de gelijkheid met hetzelfde getal vermenigvuldigen/delen, ...

[Safe]

De 'truc' om teller en noemer van die breuk gelijk te maken werkt uiteraard, maar TS heeft duidelijk niet dat niveau/inzicht.

Ik ben bang dat je nu de zaken omdraait ...

Dit zijn basiszaken, in het basisonderwijs leer je al dat 1 te schrijven is als bv 4/4 en omgekeerd dat 4/4=1.

Ook is de kennis van algoritmes waar je naar verwijst niet per definitie inzicht-verhogend, integendeel.

Maar dit is misschien wel een aparte discussie waard ...

[Xenion]

Dit zijn basiszaken, in het basisonderwijs leer je al dat 1 te schrijven is als bv 4/4 en omgekeerd dat 4/4=1.

Stel

1 - 2/x = 0

Ik geloof niet dat de meeste mensen dan redeneren van, ah dit geldt als 2/x gelijk wordt aan 1 en dus moeten teller en noemer van die breuk gelijk worden en is x gelijk aan 2.

Zeker niet als er nu had gestaan 3 - 2/x = 0.

De algemene methode om zo'n vergelijkingen op te lossen zou ik zelf ook niet inzicht-verhogend willen noemen, maar ze biedt wel een stappenplan waarmee je zulke eenvoudige vergelijkingen kan oplossen.

TS 'panikeert' al bij het zien van een breuk en een wortel: daarom lijkt het mij gepaster om de vergelijking stap voor stap op te lossen.

1-2/x = 0 (beide leden +2/x of 2/x 'naar rechts brengen')

1 = 2/x (beide leden *x of x 'naar links brengen')

x = 2

Dit vereist 0 inzicht en zou sinds het 1e middelbaar gekend moeten zijn. Dit vind ik persoonlijk belangrijk omdat het herschrijven van formules bij fysica en chemie ook vaak aan bod komt en die vakken hebben hun eigen moeilijkheden, dus het zou stom zijn moest je daar nog sukkelen met vergelijkingen.

[ForcefielD]

Stel

1 - 2/x = 0

Ik geloof niet dat de meeste mensen dan redeneren van, ah dit geldt als 2/x gelijk wordt aan 1 en dus moeten teller en noemer van die breuk gelijk worden en is x gelijk aan 2.

Zeker niet als er nu had gestaan 3 - 2/x = 0.

De algemene methode om zo'n vergelijkingen op te lossen zou ik zelf ook niet inzicht-verhogend willen noemen, maar ze biedt wel een stappenplan waarmee je zulke eenvoudige vergelijkingen kan oplossen.

TS 'panikeert' al bij het zien van een breuk en een wortel: daarom lijkt het mij gepaster om de vergelijking stap voor stap op te lossen.

1-2/x = 0 (beide leden +2/x of 2/x 'naar rechts brengen')

1 = 2/x (beide leden *x of x 'naar links brengen')

x = 2

Dit vereist 0 inzicht en zou sinds het 1e middelbaar gekend moeten zijn. Dit vind ik persoonlijk belangrijk omdat het herschrijven van formules bij fysica en chemie ook vaak aan bod komt en die vakken hebben hun eigen moeilijkheden, dus het zou stom zijn moest je daar nog sukkelen met vergelijkingen.

Ja het is voor mij geen 'normaal' iets om zo maar even een vergelijking op te lossen de voorbeelden die jij dan weer weergeeft zijn volstrekt logisch en helder.

Ik bezit wel degelijk de kennis om het zo op te lossen alleen de connectie ontbreekt vaak dat ik het dan ook zo moet doen

Een positief iets is dat ik zojuist wel geslaagd ben voor mijn VWO A bij het James Boswell Institute waarbij ik dit vraagstuk niet kon oplossen! Dus ik was alvast de problemen die ik op de toets tegen kwam aan het oplossen voor het geval dat ik een onvoldoende zou halen.

Ik ga er morgen nog eens naar kijken en alles op een rijtje zetten, ik heb nog 5 van deze sommen dus dan kan ik mooi oefenen. De tip van de micro cursus neem ik ten harte.

Tevens kan ik dan ook reageren op aadkr zijn twee vragen die het verhaal dan hopelijk nog duidelijker maakt.

[aadkr]

Een aanwijzing die ik je kan geven is: Bepaal de tweede afgeleide van de oorspronkelijke funktie

Met andere woorden : differentieer de eerste afgeleide funktie nog eens

[ForcefielD]

aadkr als ik de afgeleide van de afgeleide bereken doe ik dit,



Hiervan dus weer de afgeleide,



Ik zie hier ook 1/4 staan heeft die een overeenkomst met de extreme 1/4?

Nu moet ik ook de vergelijking van de raaklijn in x = 1 geven.

de formule van een vergelijking bestaat uit y = a * x + b

Klopt het dat de vergelijking van x = 1, y = 0.5x-0.5 is?

En kan ik dit controleren door die x = 1 gewoon in de moederfunctie in te vullen en dan hoort er hetzelfde antwoord uit te komen?

dank!!

[Safe]

Wat is de betekenis van de afgeleide f' als je de de grafiek van f bekijkt?

Heb je nu eigenlijk al de extreme waarde bepaald, dus f(1/4)=...?

Wat is je afgeleide in x=1, dus f'(1)=... ?

[ForcefielD]

Safe de afgeleide betekend dat ik het kan benaderen hoeveel stapjes die omhoog/omlaag of naar recht/links gaan ook wel de richtingscoefficient, niet?

De extreme waarde heb ik toevallig wel berekend maar was niet van toepassing.



en het antwoord op je laatste punt is 0,5 en dat is de richtingscoefficient m.a.w. A in y = a * x + b

[Safe]

Mooi,

Safe de afgeleide betekend dat ik het kan benaderen hoeveel stapjes die omhoog/omlaag of naar recht/links gaan ook wel de richtingscoefficient, niet?

De afgeleide f'(a) bepaalt (inderdaad) de rico van de raaklijn in (a,f(a))

Kan je nu ook met f' bepalen wat de aard is van je extreem?

Verder:

Jij bepaalt de raaklijn in (1,...), dus ...

[aadkr]

Je hebt de tweede afgeleide uitstekend bepaald

\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^3}} \)

Als je nu in deze tweede afgeleide de waarde x=1/4 invult , dan komt volgens mij een waarde uit van +2

Dit getal is positief. We weten nu zeker dat er voor x=1/4 een minimum optreed

Als we x=1/4 in de tweede afgeleide hadden ingevult, en we hadden dan een negatief getal gekregen ,dan weten we zeker dat voor x=1/4 een maximum optreed

Handig om te weten

[Safe]

Je hebt de tweede afgeleide uitstekend bepaald

\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^3}} \)

Als je nu in deze tweede afgeleide de waarde x=1/4 invult , dan komt volgens mij een waarde uit van +2

Dit getal is positief. We weten nu zeker dat er voor x=1/4 een minimum optreed

Als we x=1/4 in de tweede afgeleide hadden ingevult, en we hadden dan een negatief getal gekregen ,dan weten we zeker dat voor x=1/4 een maximum optreed

Handig om te weten

Vind je dit alles logisch? Waarom weet je dat zeker?

[aadkr]

scan0005.jpg (762.05 KiB) 216 keer bekeken

[Safe]

En dit moet je dan allemaal maar leren ... of begrijpen ... ?