Reeks

[PeterPan]

Zie bericht#12, eerste opmerking na het inzetje.

[TD]

Ja, het lijkt mij dat je met de quote die ik eerder gaf, precies zo'n regeltje neerschreef (maar vergat af te leiden).

Maar ik geraak in de war en jij kan duidelijkheid scheppen, wat bedoelde je in bericht #8, met die residuberekening?

[Westy]

Ik ben er bijna uit. Nog 2 vraagjes:

-Het residu in de pool z=0; ik zie nu waarom die van de 3de orde is. 2x afleiden, 2xl'Hopital en ik kom inderdaad uit op

\( - \frac{\pi}{3} \)

. Prachtig.

-ofwel via de Laurentreeks van cot z, dat lijkt een veel elegantere werkwijze:

En dit is nu de 1ste vraag: van waar komt :

\(cot z = \frac{1}{z}-\frac{z}{3}+...\)

; want ik heb voor de reeksontwikkeling van

\(cot x = x -\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}+...\)

?

-Het residu in de andere polen

\(k \neq 0\)

: hier heb ik dus (bericht #8):

\( Res_{(f(z),k)}=2 \sum_{k=1}^{R} \frac{(-1)^{k}}{\pi k^{2}}\)

En hier is dan de 2de vraag : Ik zit nog steeds in de knoei met die alternerende tekens, hoe geraak ik die

\( (-1)^{k}\)

kwijt?

Want ik moet naar

\( 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\pi k^{2}}\)

toewerken...

[PeterPan]

\(z\cot(z) = z\frac{\cos(z)}{\sin(z)}\)

\(\lim_{z \to 0} \cos(z) = \cos(0) = 1\)

en

\(\lim_{z \to 0} \frac{\sin(z)}{z} = 1\)

dus

\(\lim_{z \to 0}z\frac{\cos(z)}{\sin(z)} = 1\)

Dus de machtreeks van de even functie

\(z\cot(z)\)

is

\(z\cot(z) = 1 + a_1z^2 + \cdots\)

Voor de berekening van

\(a_1\)

probeer ik te berekenen

\(a_1 = \lim_{z \to 0} \frac{z\cot(z) - 1}{z^2}\)

\( \frac{z\cot(z) - 1}{z^2} = \frac{z\cos(z) - \sin(z)}{z^2\sin(z)}\)

Zoals bekend is

\(\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \cdots\)

en

\(\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \cdots\)

dus

\(\frac{z\cos(z) - \sin(z)}{z\sin(z)} = \frac{ z - \frac{z^3}{2!} + \cdots - z + \frac{z^3}{3!} + \cdots}{z^3 - \frac{z^5}{3!} + \cdots}\)

dus

\(a_1 = - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = \frac{-1}{3}\)

[PeterPan]

Wat betreft die alternerende som:

\(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k k^2 = \sum_{k \mbox{ even}} - \sum_{k \mbox{ oneven}} k^2 = 2\sum_{k \mbox{ even}} -\sum_{\mbox{alle } k} k^2 =\)

\(2\sum_{\mbox{alle }}4k^2 - \sum_{\mbox{alle } k}k^2\)

[Westy]

Waarom mag je zeggen dat

\(a_1 = \lim_{z \to 0} \frac{z\cot(z) - 1}{z^2}\)

als

\(z\cot(z) = 1 + a_1z^2 + \cdots\)

?

[TD]

Trek van die uitdrukking voor z.cot(z) eerst 1 af (dan staat er nog a(1)z²+...) en deel nu door z². Er blijft nu staan a1+... waarbij wat volgt, nog allemaal termen in z of machten daarvan zijn. Met z naar 0 blijft a(1) over.

[Westy]

oeps, natuurlijk. Had ik moeten zien. Stom.

[Westy]

Beset PeterPan, ik wou graag nog even doorgaan op wat jij schreef:

\(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k k^2 = ... = 2\sum_{\mbox{alle }}4k^2 - \sum_{\mbox{alle } k}k^2\)

Hier is wat ik heb:

\( \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{k^2} = \sum_{k even}\frac{1}{k^2} - \sum_{k oneven} \frac{1}{k^2} = 2\sum_{k even}\frac{1}{k^2} -\sum_{alle k} \frac{1}{k^2} =2\sum_{alle k}\frac{1}{4k^2} - \sum_{alle k} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2}\sum_{alle k}\frac{1}{k^2} - \sum_{alle k} \frac{1}{k^2} = \frac{-1}{2}\sum_{alle k }\frac{1}{k^2}\)

Daar waar ik zou moeten hebben:

\( \sum_{alle k}\frac{1}{k^2}\)

Wat doe ik fout?