Integreren voor gevorderden

[Math]

Snijdt de bol met straal R en middelpunt (0,0,0) met het vlak x=a.

De inhoud van de bol links van x=a noem ik O(a).

Dan is O(a+h) - O(a) de inhoud van een bolplakje met dikte h en

oppervlakte grondvlak oppervlakte cirkel met straal (R²-a²) (dat is ook nauwkeuriger te zeggen)

Dus (O(a+h) - O(a))/h      (R²-a²)  

en O'(a) = lim(h 0) (O(a+h) - O(a))/h  =   (R²-a²)

Dan is O(a) =   _-R..R (R²-a²) = (aR² - a³/3) |_-R^R =⁴/₃ R³

Hmm, kan aan mij liggen, maar met zoveel woorden kan ik het moeilijk volgen.

Ik zie niet echt wat je het doen bent...

[TD]

In bolcoördinaten laat je de straal gaan van 0 tot r, de 'horizontale' hoek volledig rond gaan (dus van 0 tot 2pi.gif) en de 'verticale' hoek van onder tot boven (dus van 0 tot ). Rekening houdend met de jacobiaan wordt je integrand dan r² sin(fi.gif) waarin fi.gif de hoek is die ik eerder de 'verticale' heb genoemd. Elementaire integratie levert dan het antwoord.

[PeterPan]

Hmm, kan aan mij liggen, maar met zoveel woorden kan ik het moeilijk volgen.

Ik zie niet echt wat je het doen bent...

Het is inderdaad een beetje kriptisch. Ik zal er op een later moment nog een plaatje bij maken en dan post ik het nog eens.

[TD]

Ik wou nog editen maar dat gaat intussen niet meer, ter verduidelijking:

[Math]

In bolcoördinaten laat je de straal gaan van 0 tot r, de 'horizontale' hoek volledig rond gaan (dus van 0 tot 2pi.gif) en de 'verticale' hoek van onder tot boven (dus van 0 tot ). Rekening houdend met de jacobiaan wordt je integrand dan r² sin(fi.gif) waarin fi.gif de hoek is die ik eerder de 'verticale' heb genoemd. Elementaire integratie levert dan het antwoord.

Voor bolcoördinaten is dit juist. Ik vraag me echter af of een ieder dit begrijpt, het is tenslotte een drievoudige integraal.

En in het bijzonder Bert F, hij vroeg om meer integralen.

Visueel:



Edit: TD! was me voor, ach ja...

[PeterPan]

Van de bol is een paars plakje afgesneden met dikte h.

Inhoud groene gedeelte geven we aan met F(a).

De inhoud van het paarse plakje is dan F(a+h) - F(a),

maar is ook ongeveer r².h.

Dus (F(a+h)-F(a))/h .(R² - a²)

De afgeleide van F is per definitie, F'(a) = lim(h [pijl] 0) (F(a+h)-F(a))/h = .(R² - a²)

Dan is F(a) = .(R²a - a³/3) + C

F(-R) = 0 (zie tekening, dus C =²/₃ R³) en de inhoud van de bol is

F® =⁴/₃ R³

[TD]

Leuke afleiding!

Misschien nog een integraal voor de geïnteresseerden:

[rodeo.be]

Leuke afleiding!

Misschien nog een integraal voor de geïnteresseerden:

mm, ff kijken

cos²(x) uit de wortel halen, en dan u=cos(x), du=-sin(x) enz

[TD]

Ik vrees dat dat als antwoord niet zou volstaan, maar het is een leuke aanzet...

[rodeo.be]

Ik vrees dat dat als antwoord niet zou volstaan, maar het is een leuke aanzet...

en ook de substitutie u=sin(x)-2 helpt niet

tjah, dat zijn zo mijn mogelijke integraaloplossingsmethodes

[PeterPan]

tjah, dat zijn zo mijn mogelijke integraaloplossingsmethodes

Heb je de substitutie x = arcsin(y) al geprobeerd?

[PeterPan]

Bereken de oppervlakte van een bol.

Oplossing (via mijn 'afgeleide' methode).

I® is de inhoud van een bol met straal R.

O® is de oppervlakte van een bol met straal R.

Bekijk 2 concentrische (= bollen met hetzelfde middelpunt) bollen met straal R en R+h.

De inhoud van de bolschil (tussen straal R en R+h) is I(R+h) - I®.

Die inhoud ligt tussen O®.h en O(R+h).h in.

Dus lim (h 0) (I(R+h) - I®)/h = O®.

Dus oppervlakte bol O® =^d/_dR (⁴/₃ R³) = 4 R².

[TD]

In de integratie-methode met bolcoördinaten, analoog aan de vorige maar zonder het laten lopen van de straal van 0 tot r. Het probleem herleid zich daar dan tot een dubbele integratie (hoeken over dezelfde grenzen) met uiteraard (en gelukkig maar) hetzelfde antwoord als hierboven

[PeterPan]

In de integratie-methode met bolcoördinaten, analoog aan de vorige maar zonder het laten lopen van de straal van 0 tot r.

Werkt die integratie-methode met bolcoördinaten ook nog lekker als je de inhoud van een 4-dimensionale bol wilt berekenen?

[TD]

Nee, vermits de "klassieke bolcoördinaten" gedefinieerd zijn voor het 3-dimensionale geval. Je kan deze wel naar 4 dimensies uitbreiden.