Complexe functies

[blackbox]

Geef eens aan wat je hier voor x en y invult?

Dus: w=...^2 ... ...

\(x=1 \)

en

\(y=1\)

zodat geldt:

\(z1=1+1i\)

\(f(z)=w=z^{2}=x^{2}+2.ixy+y^{2}\)

\(w(z1)=1^{2}+2.i.1.1-1^{2}=2i\)

ik had blijkbaar een foutje gemaakt bij de uitwerking.

de beeldpunten; in dit geval f(z)=2i worden voorgesteld in het w vlak zou ik denken,

maar dat klopt niet... ?

grtz

[Safe]

\(x=1 \)

en

\(y=1\)

zodat geldt:

\(z1=1+1i\)

\(f(z)=w=z^{2}=x^{2}+2.ixy+y^{2}\)

\(w(z1)=1^{2}+2.i.1.1-1^{2}=2i\)

ik had blijkbaar een foutje gemaakt bij de uitwerking.

de beeldpunten; in dit geval f(z)=2i worden voorgesteld in het w vlak zou ik denken,

maar dat klopt niet... ?

grtz

Maar (kijk even naar boven):

\(f(z)=w=z^{2}=x^{2}+2.ixy-y^{2}\)

verder gaat het goed ...

de beeldpunten; in dit geval f(z)=2i worden voorgesteld in het w vlak zou ik denken,

maar dat klopt niet... ?

Wat bedoel je hier ..., z=2i is beeldpunt van ... onder de functie w=...

[blackbox]

het w vlak bevat de beeldpunten van de functie w, in mijn voorbeeld wat dit :

\(f(z)=w=z^{2}\)

het z vlak bevat de argumenten van de functie

dus f(z) wordt dan

\(x^{2}+2.ixy-y^{2}\)

ik heb argument z1 gelijkgesteld aan :

\(z=1+1.i\)

de reele argumenten zijn dan:

\(x=1\)

en

\(y=1\)

\(f(z1)=1^{2}+2.i.1.1-1^{2}\)

, het reele deel wordt 0 en het imaginaire deel 2.i

dus krijgen we:

\(f(z1)=2.i\)

samengevat:

\(f(z1)=2.i\)

beeldpunt van z1 en duidt men aan in het w vlak

\( z1=1+1.i\)

is het argument en duidt men aan in het z vlak

zo is dit toch goed ?

grtz

[Safe]

Helemaal goed.

Nu is de bedoeling van een grafiek dat we er wat van leren ...

[blackbox]

dus ik zou voor enkele (meerder) complexe argumenten het w vlak moeten opstellen en daaruit moet dan een verband zijn met het z vlak ?

grtz

[Safe]

Laten we eens kijken naar de baan: z=1/2i, wat zijn x en y?

Geef het beeld van deze lijn uitgedrukt in u en v.

[blackbox]

\(z=0,5i\)

euhm nogmaals wat jij met 'baan' bedoelt is mij echt niet zo duidelijk; z is hier toch gewoon een argument voor de functie

\(f(z)=z^{2}\)

?

dus dat wordt dan:

\(f(z)=x^{2}+2.iyx-y^{2}\)

\(x=0 ; y=0,5\)

\(u=-0,25\)

\(v=0\)

grtz

[Safe]

Je hebt gelijk, dit is niet de baan maar een punt.

Nu maken we er een baan van:

z=x+1/2 i en weer w=z²

Wat zijn u en v, druk u in v uit ... zie je iets bekends?

[blackbox]

\(z=x+0,5i\)

\(u=x^{2}-y^{2}\)

\(v=2.iyx\)

gekozen argumenten op baan z:

z1=0,5i

z2=1+0,5i

z3=2+0,5i

z4=-1+0,5i

w1=-0,25i

w2=0,75+i

w3=3,75+2i

w4=0,75-i

opgestelde z vlak/w vlak:



maar wat het verband is zie ik niet...niet lineair alleszins

grtz

[Safe]

\(z=x+0,5i\)

\(u=x^{2}-y^{2}\)

\(v=2.iyx\)

\(v=2.iyx\)

Hoe kan dit? v is evenals x, y en u een reëel getal ...

Wat is y? Wat worden dan u en v?

Druk y uit in v en vul dat in bij u.

[blackbox]

\(z=x+0,5i\)

\(u=x^{2}-y^{2}\)

reele as w vlak

\(v=2xy\)

imaginaire as van het w vlak

de coefficient i (imaginaire as) moest daar idd niet bij

verder zijn de beeldpunten van de complexe argumenten wel goed

z1=0,5i

z2=1+0,5i

z3=2+0,5i

z4=-1+0,5i

w1=-0,25i

w2=0,75+i

w3=3,75+2i

w4=0,75-i

ik heb geprobeerd de fcuntie in het w vlak uit te drukken volgens

\( f: u=>v\)

\(\frac{v}{2x}=y\)

\(u=x^{2}-(\frac{v}{2x})^{2}\)

\(u=x^{2}-\frac{v^{2}}{4x^{2}}\)

\(x^{2}-u=\frac{v^{2}}{4x^{2}}\)

\(v=2x^{2}\sqrt{1-\frac{u}{x^{2}}}\)

[Safe]

ik heb geprobeerd de fcuntie in het w vlak uit te drukken volgens

\( f: u=>v\)

\(\frac{v}{2x}=y\)

\(u=x^{2}-(\frac{v}{2x})^{2}\)

\(u=x^{2}-\frac{v^{2}}{4x^{2}}\)

\(x^{2}-u=\frac{v^{2}}{4x^{2}}\)

\(v=2x^{2}\sqrt{1-\frac{u}{x^{2}}}\)

Ik begrijp hier helemaal niets van ...

We hebben de baan: z=x+1/2 i, wat is y?

Dit levert een beeld in het w-vlak.

De bedoeling is dit beeld te schrijven als: u= ... (een functie van v).

[blackbox]

\(z=x+0.5i \)

met

\( y =0.5 \)

is dan een argument, geen beeldpunt zoals jij aangeeft...

x en y geven argumenten die je toch kan gebruiken voor de vgl. van het w vlak

en omdat geldt voor

\(z^{2}=f(z)\)

geeft dat:

\( Re(z)=x^{2}-y^{2}\)

\(Im(z)=2xy\)

nu vraag je aan mij om U ifv. V te schrijven, beide x en y als reele argumenten uit het z vlmak,

dan denk ik het volgende

\(v=2xy\)

, enkel x en y zijn bekend dus omvormen zodat y overblijft en dit invullen bij U

Druk y uit in v en vul dat in bij u.

het is intussen ook wel duidelijk dat ik het tamelijk hard heb om de oplossing te vinden, mss. kun je deze eens uitwerken voor mij en dan weet ik direct waar ik fout zit...?

dank

grtz

[Safe]

\(z=x+0.5i \)

met

\( y =0.5 \)

en omdat geldt voor

\(z^{2}=f(z)\)

geeft dat:

\( Re(z)=x^{2}-y^{2}\)

\(Im(z)=2xy\)

Let op:

\(u= Re(w)=x^{2}-y^{2}\)

\(v=Im(w)=2xy\)

y=1/2, wat zijn dan u en v (uitgedrukt in x)?

Zie verder m'n hint ...

[blackbox]

dus de gekozen baan

\(z=x+0,5\)

geeft 1 vaste reele argument

zodus wordt het dan, y=0,5 invullen :

\(Re(w)=x^{2}-0,25=U\)

\(Im(w)=x=V\)

omdat

\(Im(w)=V=x\)

is dit is uitgedrukt is in y

kan

\(Re(w)\)

worden herschreven naar:

\(Re(w)=Im^{2}(w)-0,25\)

resultaat:

\(V=\sqrt{U+0,25}\)

met

\(U=x^{2}-0,25\)

wordt

\(V=\sqrt{x^{2}-0,25+0,25}=\sqrt{x^{2}}=x\)

nu moet het verband worden gezocht tussen de het verloop van

\(z=x+0,5\)

in het z vlak en het verloop van

\(V=x\)

in het w vlak; volgens

\(f(z)=z^{2}\)

is hetgeen ik boven heb uitgeschreven correct ?

grtz