[wiskunde] bewijs ophopingspunten

[TD]

Een paar details.

Om aan te tonen dat a een ophopingspunt is moeten we bewijzen dat er een rij bestaat in die interval die naar a convergeert.

Zo zou ik het niet zeggen; tonen dat a een ophopingspunt is heeft op zich niets te maken met die intervallen rond a; je maakt ook geen rij in 'één interval'. Per definitie: a is een ophopingspunt van A als er een rij in A bestaat (met termen verschillend van a) die naar a convergeert.

In deze opgave weten we echter van a (gegeven) dat elk open interval rond a nog oneindig veel andere elementen van A bevat, dat zullen we dan ook gebruiken (en nodig hebben) om te tonen dat a een ophopingspunt is.

We construeren deze rij door x_n te halen uit het interval (a-(1/2)ⁿ,a+(1/2)ⁿ); met n gaande naar oneindig.

Met x_n [ongelijk] a in elke stap. Ik zou niet zeggen 'met n gaande naar oneindig', maar je zet dit proces om een x_n te kiezen voort voor alle natuurlijke n; zo construeer je de rij.

Aangezien we hierdoor het interval rond a willekeurig klein kunnen krijgen, mogen we besluiten dat deze rij naar a convergeert. Waardoor het bovenstaande bewezen is.

Niet zozeer 'kunnen', maar 'zullen', door onze contructie van die intervallen! De lengte ervan daalt immers duidelijk naar 0 en ze blijven gecentreerd rond a.

Het is dus voldoende om te zeggen dat:

Dat durf ik niet bevestigen; eens aan je docent of assistent vragen wat er hier precies verwacht wordt.