Kelvindruppelaar

[jkien]

Even afdwalend: Zou een vallende regendruppel zijn lading behouden, net als een druppel in de Kelvindruppelaar? Een druppel ontstaat op grote hoogte in de atmosfeer waar de potentiaal t.o.v. aarde misschien een miljoen volt is. Als de lading behouden blijft zou zijn potentiaal t.o.v. aarde aan het einde van de val nog steeds een miljoen volt zijn. Zou het meetbaar zijn met een elektroscoop die buiten in de regen staat?

[Bartjes]

Het rendement is 100% als QV = mgh, dus V = r √(2ρgh / 3ε). De vereiste spanning is dus 50 V als r = 1 mm (ρ=1000 kg/m³, h=0.4 m). Bij een hogere spanning zou de druppel tot stilstand komen en uitwijken voordat hij de opvangbak bereikt. Helaas, het resultaat van deze berekening sluit niet aan bij de werkelijkheid dat de Kelvindruppelaar vonken van 10 kV genereert. Hopelijk een rekenfoutje?

Dat is een interessant geval, ik zal eens bekijken of ik er iets mee kan.

[Bartjes]

Zou een vallende regendruppel zijn lading behouden, net als een druppel in de Kelvindruppelaar? Een druppel ontstaat op grote hoogte in de atmosfeer waar de potentiaal t.o.v. aarde misschien een miljoen volt is. Als zijn lading behouden blijft tot aan het einde van de val zou zijn potentiaal t.o.v. aarde nog steeds een miljoen volt zijn. Zou het meetbaar zijn met een elektroscoop die buiten in de regen staat?

Die lading zou naarmate de druppel dichter bij de aarde komt misschien weg kunnen lekken via de omringende lucht, wellicht kan je daar een schatting van maken aan de hand van de soortelijke weerstand van lucht en het elektrische veld rondom de druppel.

[jkien]

Die lading zou naarmate de druppel dichter bij de aarde komt misschien weg kunnen lekken via de omringende lucht, wellicht kan je daar een schatting van maken aan de hand van de soortelijke weerstand van lucht en het elektrische veld rondom de druppel.

De elektrische weerstand tussen twee bollen in een geleidend medium is R = 1/(2πσr); die van een bol naar een plat vlak (aarde) is de helft daarvan, R = 1/(4πσr).[1] De capaciteit van een bol is C = 2πεr. De tijdconstante voor het ontladen is dus RC = ε / 2σ. Verrassend simpel: onafhankelijk van straal en afstand.

Lucht heeft een geleidbaarheid σ van circa 10^-14 Ω^-1m^-1.[2,3] . Dan is RC = ε / 2σ = 450 s = 8 minuten. De valtijd is veel korter dan de RC-tijd, dit verlies van lading is dus relatief gering. (Valsnelheid 1 km/minuut voor r = 1 mm, [4]).

Een tweede manier waarop de vallende druppel lading kan verliezen is dat ionen uit de lucht aan de druppel blijven hangen. Ook deze manier levert relatief weinig verlies van lading op. Per km valweg botst de druppel (r = 1 mm) op 3 liter lucht. Schone buitenlucht bevat 2000 ionen per cc.[5] Er kunnen dus 6 miljoen ionen blijven hangen. Dat is relatief gering t.o.v. de lading van de druppel, want Q = 2πεVr = 45 nC = 280 miljoen maal de elementaire lading (V = 1 MV).

[Bartjes]

Je kunt je afvragen bij welke spanning het rendement 100% wordt. De arbeid die de zwaartekracht verricht bij de val van een druppel is mgh, en de gewonnen elektrostatische energie is QV, zegt Kelvin. Volgens dit bericht is Q = 2πεV r_a. De luchtwrijving verwaarloos ik even.

Het rendement is 100% als QV = mgh, dus V = r √(2ρgh / 3ε). De vereiste spanning is dus 50 V als r = 1 mm (ρ=1000 kg/m³, h=0.4 m). Bij een hogere spanning zou de druppel tot stilstand komen en uitwijken voordat hij de opvangbak bereikt. Helaas, het resultaat van deze berekening sluit niet aan bij de werkelijkheid dat de Kelvindruppelaar vonken van 10 kV genereert. Hopelijk een rekenfoutje?

Ik vermoed dat de fout in de gebruikte benadering voor de capaciteit van het loslatende druppeltje t.o.v. de ring zit. Misschien is een stukje coaxkabel daar een betere benadering voor...

[Bartjes]

Ik vermoed dat de fout in de gebruikte benadering voor de capaciteit van het loslatende druppeltje t.o.v. de ring zit. Misschien is een stukje coaxkabel daar een betere benadering voor...

Ik heb er wat aan gerekend, maar dan kom je - naar het eruit ziet - hoogstens aan een twee of drie maal zo hoge maximale spanning.

Ik bedenk mij net nog wel iets anders: vlak voor het loslaten verzamelt zich wellicht aan de bovenzijde van de druppel een tegengestelde oppervlaktelading die de lading onderaan gedeeltelijk compenseert.

Een tweede manier waarop de vallende druppel lading kan verliezen is dat ionen uit de lucht aan de druppel blijven hangen. Ook deze manier levert relatief weinig verlies van lading op. Per km valweg botst de druppel (r = 1 mm) op 3 liter lucht. Schone buitenlucht bevat 2000 ionen per cc.[5] Er kunnen dus 6 miljoen ionen blijven hangen. Dat is relatief gering t.o.v. de lading van de druppel, want Q = 2πεVr = 45 nC = 280 miljoen maal de elementaire lading (V = 1 MV).

Wat is eigenlijk het probleem wanneer die druppel zijn oorspronkelijke lading behoudt?

[jkien]

Ik bedenk mij net nog wel iets anders: vlak voor het loslaten verzamelt zich wellicht aan de bovenzijde van de druppel een tegengestelde oppervlaktelading die de lading onderaan gedeeltelijk compenseert.

Dat is een interessante optie.
 
 

Wat is eigenlijk het probleem wanneer die druppel zijn oorspronkelijke lading behoudt?

Geen probleem maar een open vraag. Het is een bijzonder idee dat er druppels van een miljoen volt op mijn hoofd zouden vallen. Zou het detecteerbaar zijn met een elektroscoop of een radio, ontstaat er op het laatste moment een vonk?

[Bartjes]

Geen probleem maar een open vraag. Het is een bijzonder idee dat er druppels van een miljoen volt op mijn hoofd zouden vallen.

De lading blijft behouden. Maar de potentiaal is ook afhankelijk van de capaciteit van de druppel t.o.v. de aarde, en die capaciteit verandert tijdens de val.

[bartimore]

Het rendement is 100% als QV = mgh, dus V = r √(2ρgh / 3ε). De vereiste spanning is dus 50 V als r = 1 mm (ρ=1000 kg/m³, h=0.4 m). Bij een hogere spanning zou de druppel tot stilstand komen en uitwijken voordat hij de opvangbak bereikt. Helaas, het resultaat van deze berekening sluit niet aan bij de werkelijkheid dat de Kelvindruppelaar vonken van 10 kV genereert. Hopelijk een rekenfoutje?

Kan u mij uitleggen hoe u aan 50 V komt? Als ik de functie van V gewoon invul, kom ik op iets veel groters (ε is immers zo klein). Verder snap ik het nut van de berekening niet zo goed. Wat betekent de spanning waarvoor het rendement 100% is? De spanning groeit toch met tijd (zie #44) ? Heeft het dan niet meer nut om bvb het aantal druppels te berekenen dat nodig is voor die 10 kV? Dit brengt mij weer terug bij mijn eerste vraag, want ik krijg uit de energie van 1 druppel al een heel hoog getal ipv die 50 V.

[jkien]

... V = r √(2ρgh / 3ε). De vereiste spanning is dus 50 V als r = 1 mm. Bij een hogere spanning zou de druppel tot stilstand komen en uitwijken voordat hij de opvangbak bereikt. Helaas, het resultaat van deze berekening sluit niet aan bij de werkelijkheid dat de Kelvindruppelaar vonken van 10 kV genereert. Hopelijk een rekenfoutje?

Kan u mij uitleggen hoe u aan 50 V komt? Als ik de functie van V gewoon invul, kom ik op iets veel groters

Bedankt, nu kom ik uit op 17 kV, die 50 V was kennelijk toch een dom rekenfoutje. De verbeterde waarde is niet meer in strijd met de werkelijkheid, mooi!

Verder snap ik het nut van de berekening niet zo goed. Wat betekent de spanning waarvoor het rendement 100% is? De spanning groeit toch met tijd (zie #44)?

In #44 veronderstelt Kelvin stiekem dat de valtijd van elke druppel nul is, daardoor vertoont zijn V een eenvoudige exponentiele groei. Maar hoe hoger de spanning des te sterker wordt de druppel afgeremd. Bij een zekere spanning komt de druppel tot stilstand boven de opvangbak, dan is de valtijd oneindig. Dat gebeurt als QV = mgh, de exponentiele groei van V zal daardoor afbuigen en horizontaal gaan lopen. Het horizontale niveau is de maximumspanning van de druppelaar (die overigens afhangt van de druppelgrootte).

Rendement van de energieomzetting door een gevallen druppel = nuttige energie / verbruikte energie = toegevoegde elektrische energie in condensator C_M / zwaarteenergie van gevallen druppel = QV / mgh.

[Bartjes]

Bedankt, nu kom ik uit op 17 kV, die 50 V was kennelijk toch een dom rekenfoutje. De verbeterde waarde is niet meer in strijd met de werkelijkheid, mooi!

Ik heb alleen jouw formule voor de capaciteit met die van mij vergeleken, de orde van grootte van de capaciteit zal dus wel in orde zijn.

De maximumspanning in Kelvin's formule wordt als ik het goed heb bepaald door de lekstromen van de Leidse flessen. Dat heeft dan op zich niets met de fysische beperking te maken die voort vloeit uit energiebehoud tijdens de val.

[Bartjes]

Je hebt er niets bijzonders voor nodig. Als je aluminiumfolie onder de bodem van een drinkglas plakt heb je een elektrofoor. Op tafel plak je een even groot stukje aluminiumfolie, en daaroverheen plakbank als isolator. Dit is de eerste variabele condensator, C_L. Op dezelfde manier maak je een tweede, C_R. Plak nog een paar stukjes aluminiumfolie op tafel en verbind ze met snoertjes. Neem in beide handen een drinkglas en ga daarmee in de 1-2-3 volgorde stempelen.

Ik zie nu ineens een plaatje dat je de schakeling al gebouwd hebt! En werkte het?

[jkien]

Ik zie nu ineens een plaatje dat je de schakeling al gebouwd hebt! En werkte het?

Nee, het plakband van de Hema isoleert niet goed. Ik heb bij ze geklaagd, maar excuses ho maar.

[Bartjes]

Het lijkt mij wel aardig en leerzaam om Kelvin's afleiding in hedendaagse terminologie om te zetten. Voor het gemak kopieer ik de betreffende tekst hier even heen:

KelvinCalc.png (187.07 KiB) 887 keer bekeken

Als ik het goed begrijp ziet Kelvin's originele druppelaar er schematisch als volgt uit:

kelvinsdruppelaar.JPG (21.13 KiB) 886 keer bekeken

[Bartjes]

Op basis van het schema van bovenstaande Kelvin-druppelaar vinden we:

\( I_1 = \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_1}{\mbox{R}_1} \)

,

\( I_2 = \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_2}{\mbox{R}_2} \)

.

Veronderstel verder dat er positieve constanten d₁ en d₂ zijn zodat:

\( I_1 = - \mbox{d}_1 \, . U_2 \)

,

\( I_2 = - \mbox{d}_2 \, . U_1 \)

.

(Deze veronderstelling gaat voorbij aan het feit dat bij zeer hoge spanningen de druppeltjes niet meer in de opvangbakjes komen.)

Dan hebben we:

\( - \mbox{d}_1 \, . U_2 = \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_1}{\mbox{R}_1} \)

,

\( - \mbox{d}_2 \, . U_1 = \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_2}{\mbox{R}_2} \)

.

Oftewel:

\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1}{\mbox{d} t} = - \mbox{d}_1 \, . U_2 \, - \, \frac{U_1}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2}{\mbox{d} t} = - \mbox{d}_2 \, . U_1 \, - \, \frac{U_2}{\mbox{R}_2} \)

.

Nog wat goochelen met plussen en minnen levert:

\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_1 \, . (- U_2) \, - \, \frac{U_1}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} (- U_2)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_2 \, . U_1 \, - \, \frac{- U_2}{\mbox{R}_2} \)

.

Laat nu:

\( c = \mbox{C}_1 \)

,

\( c' = \mbox{C}_2 \)

,

\( \mbox{D} = \mbox{d}_2 \)

,

\( \mbox{D}' = \mbox{d}_1 \)

,

\( v = U_1 \)

,

\( v' = - U_2 \)

,

\( \mbox{l} = \frac{1}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{l'} = \frac{1}{\mbox{R}_2} \)

.

Dan krijgen we:

\( c . \frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} t} = \mbox{D}' \, . v' \, - \, \mbox{l} . v \)

,

\( c' . \frac{\mbox{d} v'}{\mbox{d} t} = \mbox{D} \, . v \, - \, \mbox{l}' . v' \)

.

En dit zijn precies Kelvin's vergelijkingen.