tweeling paradox

[EvilBro]

Ter info: De tweelingparadox kan ook zonder versnellingen door drie klokken te gebruiken. Vera gaat met constante snelheid van Nora af. Madelief gaat met constante snelheid op Nora af. Vera passeert Nora. Vera komt vervolgens Madelief tegen. Als zij elkaar passeren dan staat hun klok (toevallig) gelijk. Madelief passeert ten slotte Nora en ze kunnen hun klokken vergelijken.
Op deze manier gaat iedereen met constante snelheid. Toch duurt het pad via Vera en Madelief maar 22 jaar (die dus een denkbeeldige klok overgeven bij het passeren van elkaar), terwijl het pad via Nora 30 jaar duurt.

[VDammer]

Ter info: De tweelingparadox kan ook zonder versnellingen door drie klokken te gebruiken. Vera gaat met constante snelheid van Nora af. Madelief gaat met constante snelheid op Nora af. Vera passeert Nora. Vera komt vervolgens Madelief tegen. Als zij elkaar passeren dan staat hun klok (toevallig) gelijk. Madelief passeert ten slotte Nora en ze kunnen hun klokken vergelijken.

Op deze manier gaat iedereen met constante snelheid. Toch duurt het pad via Vera en Madelief maar 22 jaar (die dus een denkbeeldige klok overgeven bij het passeren van elkaar), terwijl het pad via Nora 30 jaar duurt.

Dit is precies wat ik in vorige post heb gedaan, maar uw Madelief noemt bij mij Bob

[EvilBro]

Toen ik begon aan mijn post stond jouw post er nog niet. Ik zou graag willen zeggen "Great minds think alike", maar ja, dan had je Madelief natuurlijk geen Bob genoemd...

[VDammer]

Toen ik begon aan mijn post stond jouw post er nog niet. Ik zou graag willen zeggen "Great minds think alike", maar ja, dan had je Madelief natuurlijk geen Bob genoemd...

Einstein's famous 'spooky action at a distance'

[Marko]

Daarbij: alike hoeft natuurlijk niet exact hetzelfde te betekenen. Jullie berichten leken genoeg op elkaar om aan great minds te denken.
 
Als er helemaal geen verschil tussen had gezeten was de uitspraak fools never differ misschien nog van toepassing geweest.
 
Dat alles gezegd hebbende, eenzelfde uitleg (met het gebruik van 3 klokken/waarnemers die aan 3 verschillende inertiaalstelsels zijn gekoppeld, om te tonen dat het ook zonder versnelling van een der waarnemers kan) heeft de vraagsteller al eerder gehad. Het kwartje (of frankske) is duidelijk nog niet aan gravitatie onderworpen.

[always]

Nee. Stel dat Vera een foto maakt van dat zij naast het paaltje staat en dat haar klok hierop zichtbaar is. Haar klok geeft 1, en slechts 1, tijd aan. Wat jij probeert te doen is dat de foto voor verschillende waarnemers een andere tijd aangeeft. Dat kan natuurlijk niet. De foto legt 1 gebeurtenis vast. Verschillende waarnemers zijn het oneens over wanneer (en waar) deze gebeurtenis is, maar ze zijn het er wel over eens wat de gebeurtenis is (Vera bij het paaltje terwijl haar klok op 11 jaar staat).

 

 

 
Alle berichten nog eens goed doorgelezen.
 
In #37 zeg je dan dat de klokken van Nora en Vera niet gelijk lopen. Dat ligt dan niet aan de snelheid want zeg je in #38 die is relatief. Als dus de klokken niet gelijk lopen, maar daar geen direct aanwijsbare oorzaak voor is (lijkt te zijn) behalve dan dat ze nu eenmaal ongelijk moeten lopen moet je dus altijd op een ongelijkheid uitkomen?! Waar dat verschil ligt maakt dan niet uit, dus:
 
Vera kan dan toch ook stellen dat zij aankomt bij het paaltje na 15 jaar volgens haar klok, dat is de foto-gebeurtenis. En die vind volgens Nora plaats na 11 jaar ( Immers Nora ziet Vera met 2/3 c van haar verwijderen) en volgens Vera na 15 jaar. Vera en Nora zijn het er dus inderdaad ook hier oneens over wanneer Vera bij het paaltje staat (na 15 jaar).

[always]

Correctie: waarschijnlijk moet ik het anders vertellen. Vera zet een paaltje in de grond (of steekt omhoog) op het moment dat zij Nora ziet draaien, dat is na 15 jaar volgens de klok van Vera. Maar omdat Nora denkt dat Vera van haar vandaan gaat, ziet Nora Vera het paaltje steken na 11 jaar.

[EvilBro]

Vera kan dan toch ook stellen dat zij aankomt bij het paaltje na 15 jaar volgens haar klok,

Dat kan zij niet stellen. Als ze een goed werkende klok heeft dan komt ze het paaltje tegen als haar klok op 11 jaar staat. Het kan natuurlijk zijn dat ze op 15 jaar een ander paaltje tegenkomt, maar dit is dan een ander paaltje. Vera draait in deze niet om, maar blijft zich verwijderen van Nora.
 

dat is de foto-gebeurtenis. En die vind volgens Nora plaats na 11 jaar

Nee. Volgens VERA staat Nora's klok op 8 jaar op het moment dat Vera bij het paaltje is (Vera's klok staat op 11 jaar dan). Volgens VERA staat Nora's klok op 11 jaar als Vera bij het tweede paaltje komt (Vera's klok staat dan op 15 jaar).
Volgens NORA staat Vera's klok op 11 jaar als Vera bij het eerste paaltje is (Nora's klok staat dan op 15 jaar). Volgens NORA staat Vera's klok op 15 jaar als Vera bij het tweede paaltje is (Nora's klok staat dan op 20 jaar).
In het bovenstaande kun je 5 gebeurtenissen ontdekken:
1: Nora's klok op 8 jaar.
2: Vera's klok op 11 jaar.
3: Nora's klok op 15 jaar.
4: Vera's klok op 15 jaar.
5: Nora's klok op 20 jaar.
Volgens Nora gebeuren gebeurtenissen 2 en 3 op hetzelfde moment. Ook gebeurtenissen 4 en 5 gebeuren volgens Nora gelijktijdig.
Volgens Vera gebeuren gebeurtenissen 1 en 2 op hetzelfde moment. Gebeurtenis 4 gebeurt volgens Vera gelijktijdig met het moment dat Nora's klok op 11 jaar staat.

Gebeurtenis 2 zal altijd voor gebeurtenis 4 zijn in welk inertiaalstelsel dan ook (ook de volgorde van 1, 3 en 5 ligt vast). Gebeurtenis 2 is nooit gebeurtenis 4. Vera's klok kan niet zowel 11 als 15 jaar aangeven.

[Michel Uphoff]

@Evilbro: De tweelingparadox kan ook zonder versnellingen door drie klokken te gebruiken.

 

Eindsituatie is dus: Klok Nora op Aarde staat op 30 jaar en klok Madelief (met de van Vera overgenomen tijd) staat op 22 jaar op het moment dat Nora en Madelief elkaar passeren.

 

Hoe moet ik dit beredeneren vanuit het frame van Vera, die de Aarde van zich weg ziet snellen met 2/3c?

[EvilBro]

Bij het passeren van Madelief staat de klok van Madelief en Vera op 11 jaar. De klok van Nora staat dan op 8 jaar (volgens Vera). Merk op dat de klok van Madelief dus met een voorsprong begint. Echter, de snelheid van Madelief (in Vera's stelsel) is groter dan die van Nora (anders zou Madelief Nora nooit in kunnen halen). Madelief's klok loopt dus langzamer dan die van Nora. Nora's klok zal dus Madelief's klok inhalen. Als Vera's klok op ongeveer 40 jaar staat dan zullen Madelief en Nora elkaar passeren. Nora's klok staat dan op 30 jaar en Madelief's klok op 22 jaar. Vera ziet dus alle bewegende klokken langzamer lopen dan haar eigen klok.

Is dit wat je wilde weten of bedoelde je iets anders?

[always]

En begrijp ik het dan goed dat er ook hier geen symmetrie is tussen nora en vera/madelief omdat anders geacht wordt dat nora is omgekeerd terwijl vera en madelief dat niet doen? Want tov van Vera kan Nora ook zeggen dat zijzelf (Nora) reist, maar omdat als nora zou reizen van vera vandaan (na passeren) zijn madelief nooit zou tegenkomen of veel later (als de snelheden verschillen)?

[Michel Uphoff]

QuoteIs dit wat je wilde weten of bedoelde je iets anders?

 
Dit bedoelde ik. Maar als ik er aan ga rekenen komt het niet uit. Waar maak ik een fout? (even wat nauwkeuriger cijfers gebruikt):
 
Frame Vera:
-Event 0: De Aarde (met Nora) passeert Vera met 2/3 c. Nora en Vera starten hun klokken. Nora 0, Vera 0 en de stand van de klok van Madelief (die pas later gaat synchroniseren) doet er nu niet toe. De bijbehorende N-V gamma is 1,34164.
-Event 1: Madelief en Vera passeren elkaar. De klok van Vera staat nu op 11,01856 jaar. Madelief neemt de klokstand van Vera over en haar klok wijst nu ook 11,01856 jaar aan. De klok van Nora op Aarde wijst voor Vera 11,01856/1,34164 = 8,21275 jaar aan.
 
Tot hier zo te zien geen verschil tussen jouw en mijn benadering (op de nauwkeurigheid na). Klopt dit?
 
-Event 2: Madelief passeert de Aarde met Nora. De snelheid van Madelief t.o.v. de Aarde met Nora is eveneens 2/3c. Dus loopt de klok van Madelief 1/1,34164 zo traag als die van Nora. Dan de klok van Madelief t.o.v. de klok van Vera. We moeten m.i. relativistisch optellen. 2/3c + 2/3c =(2/3+2/3)/1+2/3*2/3 = 0,92308c. Daarbij hoort een M-V gamma van 2,6 precies. De klok van Madelief loopt langzamer dan die van Nora en gezien vanuit het stelsel van Vera aanmerkelijk trager dan die van Vera, zoals jij ook opmerkte. Klopt dit tot zover?
 
We dienen uit te komen op een klokstand van 30 jaar voor Nora, en 22,03712 jaar voor Madelief bij event 2, het moment van passage van deze twee. Maar hoe ik het ook aanpak, ik krijg geen kloppende uitkomst.
 
 

 

[EvilBro]

In het stelsel van Vera beweegt Nora met een snelheid van \(-\frac{2}{3} c\).
In het stelsel van Vera beweegt Madelief met een snelheid van \(-\frac{12}{13} c\).
Als Vera en Madelief elkaar passeren dan staan hun klokken op \(5 \cdot \sqrt{5}\) jaar (ongeveer 11 jaar). Nora bevindt zich op dat moment op een afstand van \(\frac{2}{3} \cdot 5 \cdot \sqrt{5}\) lichtjaar. We kunnen nu uitrekenen hoelang het duurt voordat Madelief Nora inhaalt.

\(-\frac{2}{3} \cdot 5 \cdot \sqrt{5} \cdot c - \frac{2}{3} \cdot c \cdot \Delta t = -\frac{12}{13} \cdot c \cdot \Delta t\)

\(5 \cdot \sqrt{5} + \Delta t = \frac{3}{2} \cdot \frac{12}{13} \cdot \Delta t = \frac{36}{26} \cdot \Delta t = \Delta t + \frac{10}{26} \cdot \Delta t\)

\(\Delta t = \frac{13}{5} \cdot 5 \cdot \sqrt{5} = 13 \cdot \sqrt{5}\)

Vera's klok staat dan dus op \(5 \cdot \sqrt{5} + 13 \cdot \sqrt{5} = 18 \cdot \sqrt{5}\) jaar (ongeveer 40 jaar).

Nora's klok tikt in die \(13 \cdot \sqrt{5}\) jaar \(\frac{13 \cdot \sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\) jaar verder. Dat is \(\frac{65}{3}\) jaar verder (ongeveer 22 jaar). Tel dit bij de 8 jaar op waarop ze begon bij het passeren van Vera en Madelief en je komt uit op dat Nora's klok op 30 jaar staat.
Madelief's klok tikt in dezelfde tijd \(\frac{13 \cdot \sqrt{5}}{\frac{13}{5}}\) weg. Dat is 11 jaar en dus zal haar klok op 22 jaar staan als zij Nora passeert.

[EvilBro]

En begrijp ik het dan goed dat er ook hier geen symmetrie is tussen nora en vera/madelief omdat anders geacht wordt dat nora is omgekeerd terwijl vera en madelief dat niet doen?

Ik snap niet wat je bedoelt. In het geschetste scenario verandert niemand van richting. Het doel was om verandering van richting te voorkomen met de introductie van Madelief.

[always]

Toch vind ik het allemaal erg bijzonder, maar goed als je met zulke snelheden gaat zal dat wel. Maar op het moment dat Vera dus omdraait en stel Nora heeft intussen een kind gekregen dan ziet zij haar aan het einde van de heenreis bijv. 5 jaar en een seconde later (na omkering) ineens 19 jaar?! Wouw....
 
Wat ook vreemd is, bij het gebruik van 3 klokken, is dat de heenreis van Vera 8 nora jaren duren maar exact dezelfde terugreis door madelief 22 nora jaren. Dat kan toch niet.....;-(