Professor Puntje schreef: ↑za 21 aug 2021, 18:08
Het is nog maar de vraag of je dit zonder computer kunt. Volgens mijn voorgestelde aanpak krijg je een sluitend bewijs maar dat vereist dan wel dat je een groot aantal stelsels vergelijkingen moet gaan zitten oplossen. Ga er maar aan staan...
Inderdaad, ik kom uit op 3 * (3*6 + 3*3) * 9 = 729 stelsels, elk met 4 gelijkheden en de algemene voorwaarde:
0 < a < b < c < d:
Noem S1 t/m S4 de substitutieweerstanden, dan zijn de mogelijke diophantische vergelijkingen voor Fig1 t/m Fig4 (dwz: alle breuken weggewerkt zodat we alleen met vergelijkingen in gehele getallen werken):
Fig 1: r1*r2*(r3+r4) = s1 * ((r1+r2)*(r3+r4) + r1*r2)
neem r3=a (r1=a en r2=a kunnen niet, r4=a levert dezelfde oplossingen als r3=a)
Dan hebben we 3 opties voor r4: b, c of d,
en moet deze schakeling voldoen aan resp.:
[1.1] c*d*(a+b) = a * ( (c+d)*(a+b) + c*d )
[1.2] b*d*(a+c) = a * ( (b+d)*(a+c) + b*d )
[1.3] b*c*(a+d) = a * ( (b+c)*(a+d) + b*c )
Fig 2: r1*r2*(r3+r4) + r3*r4*(r1+r2) = s2*(r1+r2)*(r3+r4)
s2=b of s2=c:
- alternatief 1: stel s2=b:
neem r1=a, dan ligt de schakeling door keuze van r2 (b, c of d) vast:
[2.1] a*b*(c+d) + c*d*(a+b) = b*(a+b)*(c+d)
[2.2] a*c*(b+d) + b*d*(a+c) = b*(a+c)*(b+d)
[2.3] a*d*(b+c) + b*c*(a+d) = b*(a+d)*(b+c)
In alle 3 deze gevallen moet s3=c zijn (vergelijking [3.4] t/m [3.9] hieronder)
- alternatief 2: stel s2=c:
neem r1=a, dan ligt opnieuw de schakeling door keuze van r2 (b, c of d) vast:
[2.4] a*b*(c+d) + c*d*(a+b) = c*(a+b)*(c+d)
[2.5] a*c*(b+d) + b*d*(a+c) = c*(a+c)*(b+d)
[2.6] a*d*(b+c) + b*c*(a+d) = c*(a+d)*(b+c)
In alle 3 deze gevallen moet s3=b zijn (vergelijking [3.1] t/m [3.3] hieronder)
Fig 3: r1*(r2+r3) = (s3-r4)*(r1+r2+r3)
- alternatief 1: s3=b, r4=a: met keuze van r1 (b, c of d) ligt de schakeling vast:
[3.1] b*(c+d)=(b-a)*(b+c+d)
[3.2] c*(b+d)=(b-a)*(b+c+d)
[3.3] d*(b+c)=(b-a)*(b+c+d)
- alternatief 2: s3=c, r4=a: met keuze van r1 (b, c of d) ligt de schakeling vast:
[3.4] b*(c+d)=(c-a)*(b+c+d)
[3.5] c*(b+d)=(c-a)*(b+c+d)
[3.6] d*(b+c)=(c-a)*(b+c+d)
- alternatief 3: s3=c, r4=b: met keuze van r1 (a, c of d) ligt de schakeling vast:
[3.7] a*(c+d)=(c-b)*(a+c+d)
[3.8] c*(a+d)=(c-b)*(a+c+d)
[3.9] d*(a+c)=(c-b)*(a+c+d)
Fig 4: r1*(r2+r3) = (s4-r4)*(r1+r2+r3)
-alternatief 1: s4=d, r4=a: met keuze van r1 (b, c of d) ligt de schakeling vast:
[4.1] b*(c+d)=(d-a)*(b+c+d)
[4.2] c*(b+d)=(d-a)*(b+c+d)
[4.3] d*(b+c)=(d-a)*(b+c+d)
- alternatief 2: s4=d, r4=b: met keuze van r1 (a, c of d) ligt de schakeling vast:
[4.4] a*(c+d)=(d-b)*(a+c+d)
[4.5] c*(a+d)=(d-b)*(a+c+d)
[4.6] d*(a+c)=(d-b)*(a+c+d)
-alternatief 3: s4=d, r4=c: met keuze van r1 (a, b of d) ligt de schakeling vast:
[4.7] a*(b+d)=(d-c)*(a+b+d)
[4.8] b*(a+d)=(d-c)*(a+b+d)
[4.9] d*(a+b)=(d-c)*(a+b+d)
Terzijde: omdat elke vergelijking in geexpandeerde vorm in elk van zijn termen evenveel factoren heeft
([1.1] t/m [2.6] steeds 3, en [3.1] t/m [4.9] steeds 2), is elk (positief) veelvoud van een gevonden oplossing altijd ook weer een oplossing, ofwel:
als (A,B,C,D) en oplossing is, dan is (k*A, k*B, k*C, k*D), k∈Z
+ ook een oplossing.
Voorbeeld 1:
Het stelsel met vergelijkingen [1.2], [2.3], [3.5], [4.6] levert de bekende oplossing
(a,b,c,d) = (1,2,3,4)
Echter: WolframAlpha begrijpt me niet: als ik invoer:
{ b*d*(a+c) = a * ( (b+d)*(a+c) + b*d ), a*d*(b+c) + b*c*(a+d) = b*(a+d)*(b+c), c*(b+d)=(c-a)*(b+c+d), d*(a+c)=(d-b)*(a+c+d), 0 < a < b < c < d }
krijg ik: "Wolfram|Alpha doesn't understand your query".
Voer ik een vergelijking minder in ([4.6] verwijderd):
{ b*d*(a+c) = a * ( (b+d)*(a+c) + b*d ), a*d*(b+c) + b*c*(a+d) = b*(a+d)*(b+c), c*(b+d)=(c-a)*(b+c+d), 0 < a < b < c < d }
dan krijg ik:
ofwel: a>0, b=2a, c=3a, d=4a (Wolfram had dit toch ook wel mogen zien).
Nu is het wel eenvoudig te controleren dat dit ook een oplossing van [4.6] is, maar dat zou de eerste query ook hebben moeten opleveren.
Voorbeeld 2:
We hoeven niet uitputtend alle stelsels te doorzoeken:
zo levert bijvoorbeeld vergelijking [1.1] samen met [2.1] geen geheeltallige oplossingen:
na invoer van
{ c*d*(a+b) = a * ( (c+d)*(a+b) + c*d ), a*b*(c+d) + c*d*(a+b) = b*(a+b)*(c+d), 0 < a < b < c < d }
geeft WolframAlpha:
\(b = \frac{a}{3}\cdot \left( \sqrt[3]{\frac{47 + 3\sqrt{93}}{2}} + 7\cdot \sqrt[3]{ \frac{2}{47 + 3\sqrt{93}}} + 1 \right)\)
≈ a ⋅ 2.1478990357047873540262149649309...
Als a geheel is, dan is b dat dus zeker niet.
Alle stelsels met [1.1] en [2.1] er in kunnen we dus verder overslaan.
Hierboven dus 2 voorbeelden:
- 1 voorbeeld met een enkele oplossing (1,2,3,4),
- 1 voorbeeld zonder oplossingen.
Maar het zou heel wel kunnen dat er ook één of meer stelsels tussen zitten die onbeslisbaar zijn, net zoals
https://nl.wikipedia.org/wiki/Vermoeden ... 91s-Straus
waar Professor Puntje al eerder op wees.
Ik heb helaas geen rekenprogramma dat krachtig genoeg is om alle stelsels symbolisch op te lossen.
Wellicht dat iemand anders hiermee verder kan.
