Delen door nul

[Bartjes]

Wat jaren geleden heb ik aan een theorie gewerkt die delen door nul mogelijk zou moeten maken. Ik ben daarmee een heel eind gekomen, maar ik kwam niet genoeg interessante resultaten tegen om ermee door te gaan. Het basisidee is echter wel interessant, en misschien dat ik er met wat hulp toch iets leuks van kan maken. Het zou mij ook goed zijn wanneer iemand aannemelijk kan maken waarom dit nooit iets kan worden.

De reden waarom delen door nul fout loopt is dat vermenigvuldigen met nul alle informatie over het getal waarmee vermenigvuldigd wordt teniet doet. Immers: waar je nul ook mee vermenigvuldigt er zal altijd nul uit komen. Dit kunnen we verhelpen door de reële getallen als het ware een rugzakje mee te geven waarin informatie wordt opgeslagen over de bewerkingen die de getallen reeds hebben ondergaan. Stel dat je de oplossing van 0' = x . 0* zoekt. Dan zou je dus in de "rugzakjes" van 0' en 0* kunnen kijken waar ze de uitkomt van zijn. Als nu 0' de uitkomst is van 3.0 en 0* de uitkomst is van 7.0, dan is het logisch als oplossing x = 3/7 te nemen. Onder 0 verstaan we hierbij het oorspronkelijke getal nul zoals dat uit de verzameling der gehele getallen geplukt wordt.

Wat vinden we hiervan?

[In physics I trust]

Als je aan een theorie werkt, heb je waarschijnlijk er een doel mee voor ogen en het doel/nut van jouw theorie ontgaat me: de eigenschappen van 0 zijn eigenlijk heel 'natuurlijk' en de '0' of (limiet van ) oneindig zijn vaak net dat wat we 'intuïtief' zouden en wensen te verwachten.

Het is niet dat 0 een struikelblok vomt in de huidige wis- en natuurkunde, dus waarom zou je dit doen?

[venra]

Ik zie geen verschil tussen een 'oorspronkelijke' 0 en een 0 afkomstig van 3.0

Als eindresultaat dan.

Indien het om een tussenstap gaat, dan komen we naar mijn mening ver genoeg met limieten.

Als jij die getallen een 'rugzakje' meegeeft, is dit in essentie eigenlijk hetzelfde wat we doen met limieten uitrekenen.

Bij limieten behoud je de volledige vergelijking zonder vereenvoudigen, jij zou de vergelijking in een rugzakje stoppen.

Wat is het nut daarvan behalve extra verwarrend en omslachtig maken?

[317070]

Als je aan een theorie werkt, heb je waarschijnlijk er een doel mee voor ogen en het doel/nut van jouw theorie ontgaat me: de eigenschappen van 0 zijn eigenlijk heel 'natuurlijk' en de '0' of (limiet van ) oneindig zijn vaak net dat wat we 'intuïtief' zouden en wensen te verwachten.

Het is niet dat 0 een struikelblok vomt in de huidige wis- en natuurkunde, dus waarom zou je dit doen?

Daar ga ik toch niet mee akkoord. Intuïtief vind ik net dat als je iets maal nul doet, en dan gedeeld door nul, dat je weer hetzelfde uitkomt. Bovendien vormt het wel degelijk een soort struikelblok, we hebben speciaal daarvoor concepten zoals limieten moeten uitvinden om daar rond te kunnen werken.

Het is gevaarlijk om argumenten als intuïtief te gebruiken voor de 'traditionele' methode, want dikwijls gebruik je het omdat het de enige methode is die je gezien hebt.

[In physics I trust]

Daar ga ik toch niet mee akkoord. Bovendien vormt het wel degelijk een soort struikelblok, we hebben speciaal daarvoor concepten zoals limieten moeten uitvinden om daar rond te kunnen werken.

Maar vele natuurkundige concepten worden opgebouwd door middel van die limieten, (gaande naar oneindig klein, uitwerken voor een elementair deeltje), omdan vervolgens te integreren om een globaal resultaat te bekomen.

Intuïtief vind ik net dat als je iets maal nul doet, en dan gedeeld door nul, dat je weer hetzelfde uitkomt.

Ik niet. Vermenigvuldigen met nul: je neemt het gewoon niet. Dan heb je ook niets (nul). Erdoor delen: daarvoor vind ik de benaderingen met limieten erg natuurlijk overkomen met redeneringen in de trant van: 'als de noemer heel klein wordt, is de hele breuk heel groot', en in dat opzicht doet nul toch wat er daar van hem wordt verwacht?

[Bartjes]

Dank voor de reacties. Of het nut heeft weet ik niet. Daar is het mij ook niet om te doen. Ik zie het als een interessante uitdaging om iets wat binnen de gebruikelijk rekenkunde niet lukt via een omweg toch mogelijk te maken. Zo zijn vroeger immers ook de negatieve getallen, de breuken, de irrationale getallen, etc. ontstaan. Daar keek men aanvankelijk ook vreemd tegen aan.

Ik heb er geen enkel probleem mee wanneer we dit project verder als recreatieve wiskunde typeren. Of er later toch toepassingen opduiken zien we dan wel weer. Gebeurt dat niet, des te beter. Dan kunnen we deze theorie als een onschuldig wiskundig speeltuintje beschouwen, zonder verdere maatschappelijke relevantie (met de daarbij komende goede of kwade gevolgen).

[Math-E-Mad-X]

Stel dat je de oplossing van 0' = x . 0* zoekt. Dan zou je dus in de "rugzakjes" van 0' en 0* kunnen kijken waar ze de uitkomt van zijn. Als nu 0' de uitkomst is van 3.0 en 0* de uitkomst is van 7.0, dan is het logisch als oplossing x = 3/7 te nemen. Onder 0 verstaan we hierbij het oorspronkelijke getal nul zoals dat uit de verzameling der gehele getallen geplukt wordt.

Wat ik mij nu heel erg sterk afvraag, is de vraag in hoeverre jouw nul nog steeds echt als 'nul' beschouwd kan worden.

Wat je hier volgens mij aan het doen bent is gewoon wat manipuleren met symbolen, waarbij jouw notatie suggereert dat de symbolen 0, 0' en 0* iets met het natuurlijke getal 0 te maken hebben. Stel dat we 0 even vervangen door een ander symbool, laten we zeggen Y, en we vervangen 0' door het symbool 3Y en 0* door 7Y dan vinden we 'doodgewone' vergelijkingen:

\(3 \cdot Y = 3Y\)

\(7 \cdot Y = 7Y\)

\(\frac{3Y}{7Y} = \frac{3}{7}\)

Met andere woorden: wat heeft deze set vergelijkingen verder nog met het getal 0 te maken?

[In physics I trust]

Die opmerking wilde ik ook net formuleren.

En verder: de complexe getallen zijn eerst ingevoerd omdat ze 'bleken te werken'. Pas later is men dit wiskundig gaan formaliseren.

[Bartjes]

Wat ik mij nu heel erg sterk afvraag, is de vraag in hoeverre jouw nul nog steeds echt als 'nul' beschouwd kan worden.

Wat je hier volgens mij aan het doen bent is gewoon wat manipuleren met symbolen, waarbij jouw notatie suggereert dat de symbolen 0, 0' en 0* iets met het natuurlijke getal 0 te maken hebben. Stel dat we 0 even vervangen door een ander symbool, laten we zeggen Y, en we vervangen 0' door het symbool 3Y en 0* door 7Y dan vinden we 'doodgewone' vergelijkingen:

\(3 \cdot Y = 3Y\)

\(7 \cdot Y = 7Y\)

\(\frac{3Y}{7Y} = \frac{3}{7}\)

Met andere woorden: wat heeft deze set vergelijkingen verder nog met het getal 0 te maken?

Je zou mijn getallen kunnen zien als geordende tweetallen (x,X) waarbij x een gewoon reëel getal is, en de X (dat is het rugzakje) informatie bevat over de berekeningen die tot x geleid hebben. Hoe uitgebreid X moet zijn is daarbij nog de vraag. Je rekent met dergelijke getallen dus als met gewone getallen. Maar in die gevallen waar je op 0/0 zou uitkomen, kan je in de boekhouding in de meegedragen rugzakjes van de betreffende twee nullen 'terugbladeren' om een zinvolle uitkomst voor deze deling van nul door nul te vinden.

[Bartjes]

En verder: de complexe getallen zijn eerst ingevoerd omdat ze 'bleken te werken'. Pas later is men dit wiskundig gaan formaliseren.

Waar het mij om gaat is dat ik praktische toepassingen in techniek of (natuur)wetenschap niet essentieel vind. Een wiskundige theorie kan ook als aangenaam tijdverdrijf van belang zijn. Maar dan moet een dergelijke theorie wel verrassende en/of fraaie resultaten te bieden hebben. En die heb ik nog niet gevonden.

Wat ik dus hoop is dat deze discussie mij ofwel op het juiste spoor zet om alsnog iets moois uit te werken, ofwel mij duidelijk maakt dat er in deze richting niets interessants te beleven is.

[Marko]

Wat je hier in feite doet is op een gecompliceerde manier voorstellen om dingen in de vorm van een vergelijking op te schrijven, iets wat al een paar duizend jaar gedaan wordt.

[Bartjes]

Wat je hier in feite doet is op een gecompliceerde manier voorstellen om dingen in de vorm van een vergelijking op te schrijven, iets wat al een paar duizend jaar gedaan wordt.

In zekere zin is dat inderdaad de bedoeling. Als je alle informatie wilt bewaren zou je als X de formele (dus niet verder uitgewerkte!) formule kunnen nemen waarmee x berekend is. Het is echter de vraag of dit geen overkill is...

De hamvraag is dus welke informatie X moet bevatten, om iets interessants op te leveren.

[Math-E-Mad-X]

Je zou mijn getallen kunnen zien als geordende tweetallen (x,X) waarbij x een gewoon reëel getal is, en de X (dat is het rugzakje) informatie bevat over de berekeningen die tot x geleid hebben. Hoe uitgebreid X moet zijn is daarbij nog de vraag. Je rekent met dergelijke getallen dus als met gewone getallen. Maar in die gevallen waar je op 0/0 zou uitkomen, kan je in de boekhouding in de meegedragen rugzakjes van de betreffende twee nullen 'terugbladeren' om een zinvolle uitkomst voor deze deling van nul door nul te vinden.

Je gaat volledig voorbij aan mijn punt. Wat ik probeer te zeggen is dat datgene wat jij 'nul' noemt gewoon helemaal geen nul is, maar alleen maar een abstract object waarvan het symbool wat je gebruikt toevallig hetzelfde symbool is als wat men normaal gesproken voor nul gebruikt.

Om je even op weg te helpen:

stel we hebben een verzameling V met een operatie + Dan wordt 'nul' als volgt gedefinieerd:

\(\forall x \in V : x + 0 = 0 + x = x\)

Nu zul jij dus moeten laten zien dat jouw symbolen 0, 0' en 0* ook aan deze eigenschap voldoen, zonder dat dit inconsistenties oplevert. Als jouw symbolen niet aan deze eigenschap voldoen, dan ben je simpelweg niet door nul aan het delen, maar aan het delen door één of ander abstract object dat je noteert met het symbool 0.

edit: sorry, ik heb te snel gereageerd zonder je reactie zorgvuldig door te lezen.

ik zie dat je inderdaad met die (x , X) notatie een soort van 'nul' definieert. Neemt niet weg dat je nog eens goed naar mogelijke inconsistenties moet kijken.

Probeer eens zorgvuldig de axioma's te formuleren waar de berekeningen met objecten (x, X) aan moeten voldoen.

Hoe tel je deze objecten bij elkaar op? hoe vermenigvuldig je ze met elkaar? Geldt associativiteit? zijn vermenigvuldiging en optelling commuterende operaties?

[Bartjes]

Probeer eens zorgvuldig de axioma's te formuleren waar de berekeningen met objecten (x, X) aan moeten voldoen.

Hoe tel je deze objecten bij elkaar op? hoe vermenigvuldig je ze met elkaar? Geldt associativiteit? zijn vermenigvuldiging en optelling commuterende operaties?

De radicaalste definitie is aldus:

(x,X) + (y,Y) = (x+y,X+Y)

(x,X) . (y,Y) = (x.y,X.Y)

De getallen x en y worden daarbij op de gebruikelijke wijze opgeteld en vermenigvuldigd, en de formele uitdrukkingen X en Y leveren de formele uitdrukking (X) + (Y) en (X) . (Y) op.

Voorbeeld:

(2,5589; 2,5589) + (0; (0).(5)) = ( 2,5589 ; (2,5589) + ((0).(5)) )

(2,5589; 2,5589) . (0; (0).(5)) = ( 0 ; (2,5589) . ((0).(5)) )

Als we het daarbij laten gelden er voor dit systeem enkel triviale gelijkheden waarbij er aan beide zijden van het gelijkteken precies dezelfde uitdrukkingen staan. Daar ligt dan ook niet de kracht van deze "getallen".

Bovendien is de z in de uitkomst (z,Z) van een aldus doorgerekende formule gewoon het reële getal dat we normaal ook gevonden hadden. Maar waar er bij de reële getallen over een uitkomst nul niets meer te zeggen valt dan dat het nul is, kunnen we uit

( 0 ; (2,5589) . ((0).(5)) )

af lezen waar die nul vandaan komt.

We zouden nu nog een operatie kunnen definiëren die bij twee van dergelijke nullen toch nog een eenduidig getal als "pseudo-quotiënt" oplevert. Voor eenvoudige gevallen ligt het voor de hand hoe dit moet, ingewikkelder gevallen zouden moeilijkheden kunnen geven. Dat moet nog uitgezocht worden.

[Bartjes]

We zouden nu nog een operatie kunnen definiëren die bij twee van dergelijke nullen toch nog een eenduidig getal als "pseudo-quotiënt" oplevert. Voor eenvoudige gevallen ligt het voor de hand hoe dit moet, ingewikkelder gevallen zouden moeilijkheden kunnen geven. Dat moet nog uitgezocht worden.

Afhankelijk van hoe we het pseudo-quotiënt definiëren zal het rugzakje X van ons getal (x,X) minder informatie hoeven te bevatten. Als de uitkomst van het pseudo-quotiënt bijvoorbeeld ongevoelig is voor wijzigingen in de volgorde van de factoren van producten in de formele uitdrukking X, kunnen er in X weer wat (kennelijk overbodige) haakjes worden weggelaten. Bovendien wordt het systeem van getallen (x,X) daarmee minder triviaal. Dit is allemaal een kwestie van uitproberen wat het fraaiste resultaat geeft.