Vrije weglengte CO2 berekenen

[Marko]

De vrije weglengte is de gemiddelde afstand die een molecuul aflegt voor het tegen een ander molecuul aan botst. De vrije weglengte van een CO₂-molecuul wordt niet bepaald door de concentratie CO₂-moleculen maar door de totale concentratie van alle moleculen. Die 410 ppm heb je dus nergens voor nodig en je moet werken met de totale druk.
 
De Wikipedia-pagina heeft het over verhouding tussen vrije weglengte en karakteristieke lengte. Een verhouding tussen lengte en volume heeft alleen betekenis als je de bijbehorende eenheid ook noemt.
 
De tweede link die je noemt gebruikt nergens partieeldruk.
 
Volgens mij doen beide pagina's hetzelfde.

[Gast]

En ik wil dus de gemiddelde afstand berekenen tussen die de CO2 moleculen afleggen voor ze tegen mekaar aan botsen. Dus ik moet de overige 'luchtmoleculen' wegdenken en wel degelijk de partiële druk berekenen. Of dat van die wikipedia pagina in een afgesloten ruimte, maar lijkt me niet en begrijp ik nog steeds niet.

Het lijkt er niet op dat ik hier verder kom. Desniettemin bedankt allemaal.

Grts,

Thomas

[Marko]

En ik wil dus de gemiddelde afstand berekenen tussen die de CO2 moleculen afleggen voor ze tegen mekaar aan botsen. Dus ik moet de overige 'luchtmoleculen' wegdenken en wel degelijk de partiële druk berekenen. Of dat van die wikipedia pagina in een afgesloten ruimte, maar lijkt me niet en begrijp ik nog steeds niet.

Het lijkt er niet op dat ik hier verder kom. Desniettemin bedankt allemaal.

Grts,

Thomas

 
Dat kun je "dus" wel willen, maar dat heb je nooit zo aangegeven. Je had het de hele tijd over vrije weglengte.
 
Desalniettemin kun je wat je wil berekenen best berekenen, ook zonder partieeldruk. Je moet de andere moleculen echter niet wegdenken, want die zijn er nog steeds en botsen nog steeds tegen de CO₂ moleculen aan, met de gevolgen daarvan.
 
Maar wel kun je stellen dat de kans dat de botsing met een ander CO₂ molecuul is, gelijk is 410 / 10⁶ , oftewel, een CO₂ molecuul ondergaat gemiddeld 10⁶ 410 botsingen met andere moleculen alvorens met een molecuul CO₂ te botsen (dit is een benadering, hier kom ik later nog op terug).
 
Dat betekent dus dat het betreffende molecuul 2439 maal de vrije weglengte (68 nm) = 0.165 mm heeft afgelegd. Let wel, dat is de totale afstand. Omdat gasmoleculen kriskras heen en weer bewegen is de effectieve afstand een stuk kleiner. Voor een random walk in 3 dimensies schaalt de afstand tussen begin- en eindpunt met de wortel van het aantal stappen, dan kom je op √2439 * 68 ≈ 50 maal de vrije weglengte uit. In 2 dimensies ook overigens. 
 
De gemaakte benadering hierbij is dat het effectieve dwarsoppervlak bij botsingen tussen CO₂ moleculen gelijk is gesteld aan dat van de andere moleculen, en dat het om een ideaal gas gaat (geen interactie tussen moleculen). Bij deze omstandigheden zal dat wel aardig kloppen, en ik zou geneigd zijn dat je in dit stadium sowieso geen grotere nauwkeurigheid nodig hebt dan dat je in de juiste ordegrootte zit.
 
Ik vraag me alleen af waar je nu precies die afgelegde afstand voor gaat gebruiken. Ik snap dat je niet in details kunt treden, maar in zijn algemeenheid zou ik zeggen dat voor botsingen van moleculen onderling de botsingsfrequentie veel meer van belang is. En is het niet handiger om gewoon aan de hand van diffusiecoëfficiënten te werken? 

[Gast]

Ok. Ik moet hier even hard over nadenken en erover lezen lijkt me geen slecht idee (ik wist niet eens dat een ideaal gas betekent dat het een gas betreft, waarbij er geen interactie tussen tussen moleculen bestaat (dat kan toch niet .. ik zal erover lezen). Maar laat staan dat ik weet wat 'random walk' precies inhoudt (ik zal erover lezen).

Ik begrijp zo in eerste instantie niet waar die 10^6 vandaan komt (micrometer van ppm neem ik aan, maar waarom maal 410 ?, en waarom in 2 dimensies (afschaling van 'random walk' met wortel neem ik aan .. ik zal erover nadenken en lezen!

Verder zal ik mijn opdrachtgever zeggen het geen vrije weglengte te noemen. (En een aantal dingen vragen (maar ik werk er nog maar even, zonder voorgeschiedenis in chemie en wil dus niet .. naja.))

Ik had dit zelf ook kunnen bedenken natuurlijk. Vandaar ook dat die 410 ppm voor anderen van geen belang was.

Een vraagje tussendoor. Stel nu dat ik het via partiële druk berekenen en de overige luchtmoleculen wegdenk. Zou ik dan op ongeveer dezelfde lengte (.. dan is het wel vrije weglengte) komen?

Iig hartelijk dank!

En excuses voor mijn vorige bericht.

Dit had misschien wel wat netter gemogen (vooral privé omstandigheden). En dat ik (en mijn opdrachtgever!!..kga de schuld voor dit misverstand niet helemaal op me nemen ) niet duidelijk genoeg was kunt u (jullie) ook niets aan doen. U (jullie) bieden mij gratis hulp wat ik erg waardeer!

[mathfreak]

ik wist niet eens dat een ideaal gas betekent dat het een gas betreft, waarbij er geen interactie tussen moleculen bestaat

Dit is inderdaad hoe natuurkundigen indertijd het begrip ideaal gas definieerden. Men nam daarbij tevens aan dat de gasmoleculen een onderlinge afstand van 10 maal hun diameter hadden en volkomen veerkrachtig botsten. Eind 19e eeuw heeft de Nederlandse natuurkundige Johannes Diederik van der Waals een gasmodel opgesteld waarbij wel met interactie tussen moleculen rekening werd gehouden.

[Gast]

Ik heb het gelezen ja. Best interessant allemaal. Maar betekent dit nu dat de algemene gaswet meestal niet meer gebruikt kan worden? (Of wanneer is een gas zo verdund dat de aantrekkingskracht tussen de moleculen verwaarloosd mag worden en de algemene gaswet nog wel gebruikt kan worden?)

@ Marko (en iedereen eigenlijk):

Ik begin me wat voor-***-staan te voelen, ook al vind ik dat ik er weinig aan kan doen. Want ik heb mijn opdrachtgever meerdere keren gevraagd of het nu om de lengte tussen de CO2 moleculen ging. En telkens was het antwoord "ja, BIJ 410 PPM".

Nu heb ik hem jouw (Marko) beredenering opgestuurd en nu blijkt dat hij toch de vrije weglengte wil weten .. BIJ 410 PPM.

Ik heb hem geprobeerd uit te leggen dat die 410 ppm er dan niet toe doet, maar het gaat er bij hem (nog) niet in. (Een hele aardige man, met een enorm goede babbel overal subsidies voor te krijgen, maar technisch ... naja. Het ligt ook aan mij, misschien moet ik wat assertiever worden .. maar goed.)

Iig deze vrije weglengte heb ik nu op twee manieren berekend.

1. Met de formule voor vrije weglengte λ zoals op Wikipedia staat.

Hier kom ik op 85 nm bij 25 °C uit (bij 0 °C op 78 nm.

2. Met behulp van het equipartitiebeginsel. Gemiddelde snelheid van 'luchtmoleculen' is 500 m/s. Gemiddelde snelheid van CO2 is ca. 400 m/s. Gemiddelde mean free time in lucht is 0,07 ns. Dus 400 x 0,07 ns = 28 nm.

Dit scheelt nogal. Welke is aannemelijker?

Bvd,

Thomas

[Gast]

Nu is het toch weer de afstand tussen CO2 moleculen. Dus niet de vrije weglengte.

Dus het meeste van bovenstaande kan als niet geschreven beschouwen worden.

Niet te geloven...

[Gast]

Al vraag ik me bovenstaande wel af. Ook omdat Marko op 68 nm uitkomt. (?)

[Marko]

Allereerst, maak je geen zorgen. Iets niet weten of begrijpen is niet voor *** staan. En uiteindelijk zullen we vast wel ergens komen.
 
Punt voor punt wat antwoorden:
 
10⁶ en 410 komt van 410 ppm. 410 ppm, particles per million, betekent dat van elke miljoen luchtmoleculen er 410 vanhet type CO₂ zijn. En dat betekent dat gemiddeld genomen, als een CO₂ molecuul een miljoen keer tegen een ander deeltje aan botst, dat 410 keer tegeneen ander CO₂ molecuul is. En dus zal een CO₂ molecuul bij een concentratie van 410 ppm, ongeveer 2438 keer botst met andere moleculen en dan 1 keer met een molecuul CO₂. Tussen iedere botsing legt dat molecuul gemiddeld steeds de vrije weglengte af - maar na iedere botsing wel steeds in een andere, willekeurige richting.
 
Die 68 nm heb ik niet berekend. Ik heb het van Wikipedia, die verwijst naar dit artikel. Ik vond het er wel betrouwbaar uit zien en voor de redenering maakt het niet veel uit of het nu 68 of 70 of 80 nm is.
 
Ik ga ervan uit dat dat de juiste waarde is, en dat de 28 nm dus niet klopt. Hoe kom je aan de "mean free time" die je gebruikt?
 
De algemene gaswet kan prima gebruikt worden. Voor een heel scala aan omstandigheden is het een meer dan prima benadering. Daarom schreef ik ook dat ik ervan uitging dat het voor jouw situatie weinig verschil zal maken.
 
Als het gaat om de gemiddelde afstand tussen 2 CO₂ moleculen, dan heb je inderdaad de partieeldruk nodig. Of in ieder geval, dan kan het op die manier. De eerder genoemde Hyperphysics pagina berekent ook de intermolecular separation, dat is denk ik wat je baas zoekt. 
 
Je kunt een houtje-touwtje berekening doen door met de ideale gaswet te berekenen hoeveel mol CO₂ moleculen er in 1 L zitten (of je gebruikt de waarde van 22.4 L /mol die geldt voor ideale gassen bij STP). Als je weet hoeveel er in een bepaald volume zitten, kun je ook berekenen hoeveel volume dat per CO₂ molecuul is. Als je dan aanneemt dat dat volume een kubus is, kun je de lengte van de ribben van die kubus berekenen en dan heb je, bij benadering, gemiddelde onderlinge afstand.
 

[Gast]

Ik heb het volgende gedaan:

Average seperation distance (zo noem ik het hier maar even) tussen CO2 moleculen in lucht, 410 ppm, 1 atmosfeer en 23 °C.

Partiële druk CO2:

pi = p(lucht) x xi (ci, molfractie is gelijk aan volumefractie bij gassen.)

pi = 101325 Pa (=1 atm) x 410 x 10^-6 (ppm) = 41,54 Pa = 0,04154 kPa (1)

Vrije weglengte:

k (Boltzmann constant) = 1,381 x 10^-23 [J/K]

T = temperatuur [K]

dm = kinetische molecuuldiameter (330 pm voor CO2)

p = pi (zie (1)) [kPa] niet pascal, dit duurde even om te ontdekken. Aan de hand van de site:

https://www.pfeiffer-vacuum.com/en/know-how/introduction-to-vacuum-technology/fundamentals/mean-free-path/

zou je denken aan gewoon pascal ipv kilopascal.

L = 1,381 x 10^-23 J/K x 293,15 K (=23 °C) / wortel(2) x pi x (10,89 x 10^-10 m)

= 0,0000020349 m = ca 2 um (2)

Het was even een gepuzzel, maar ik ben hier vrij zeker van.

Soort van gecontroleert dmv of mbv van:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Kinetic/menfre.html#c2

@ Marko. Dit scheelt echter nogal van die van jouw. 50 maal de vrije weglengte. Dus .. ??

Verder las ik even snel over Mean inter-particle distance op Wikipedia. Zou het daar ook mee berekend kunnen worden.

Special @ Marko. Bedoelde je trouwens bovenstaande link als hyperphysics pagina over intermolecular distance? Want ik kan er niets over vinden.

Die mean free time komt van een berekening die ik op Quora tegenkwam (waar ik ook TommyWhite ben .. uhm):

"The mean free time between collisions is the same as for all air molecules at STP, namely .07 nanoseconds. The average air molecule moves at about v = 500 m/s and therefore has an energy of ½mv² where m is the mass of an average air molecule. CO2 molecules have a mass of M = 44m/28.97. By equipartition of energy the energy of a CO2 molecule is ½MV² = ½mv². The velocity V of the average CO2 molecule is therefore V = √(m/M)v = 500/1.23 or about 400 m/s. The mean free path of CO2 molecules can therefore be estimated at 400*.07 = 28 nanometers.

This neglects the additional degrees of freedom of air and CO2 molecules besides their translation DoFs. Since CO2 has more DoFs than O2 and N2 this estimate will be a tad on the high side but not too far wrong.

The mean free path of a molecule so heavy it refuses to budge will by this calculation be zero, But this is perfectly fine for a molecule not going anywhere while being pounded by air molecules every .07 ns."- Vaughan Pratt

(Mean free velocity van CO2 is overigens 375 m/s.) Any thoughts??

Het blijft een moeilijk vraagstuk vind ik, maar ..

Dank en groet,

Thomas

[die hanze]

Ik kan het helemaal niet meer volgen eigenlijk. Je spreekt nu over average seperation distance, de gemiddelde afstand tussen 2 co2 moleculen maar dan pas je een formule toe die de mean free path berekent. Dit zijn 2 heel verschillende dingen. Average seperation distance hangt niet af van de moleculaire diameter en temperatuur maar enkel van de dichtheid (dichtheid hang uiteraard via ideale gaswet af van temperatuur). Dit is wat marco in zijn laatste bericht uitlegt.
 

"The mean free time between collisions is the same as for all air molecules at STP, namely .07 nanoseconds.

 
Die uitleg van quora begint al zeer slecht, het is toch vanzelfsprekend dat een molecuul met een veel grotere botsingsdoorsnede een kortere mean free time heeft?

[Gast]

Dat laatste klopt helemaal de hanze.

Marko zei ook dat ik met partiele druk deze afstand kan berekenen.

Dit heb ik volgens mij gedaan.

Maar als jij weet hoe ik het beter of anders kan berekenen, hoor ik het graag.

[die hanze]

Marko had het over mean seperation distance, deze kan inderdaad gewoon met de partiële druk afgeleid worden(via de partiele druk kun je de deeltjes dichtheid bepalen). Je haalt 2 begrippen door elkaar volgens mij.

[Gast]

Ja, dat opper ik hierboven ook. Mean interparticle distance (of mean separation distance), maar hmm .. ik bedenk me ineens dat ik de partieeldruk gewoon gebruikt heb in de formule voor vrije weglengte. Zucht.

Nou ja, later verder.

[Gast]

@ die hanze

"De mean seperation distance kan inderdaad gewoon met de partiële druk afgeleid worden" ??

Hoe dan?