Lineaire afbeeldingen

[Klaas99]

Hey,
kan iemand uitleggen of volgende afbeelding lineair is?
f: R³=>R³:(x,y,z)=>(xy,yz,zx)
Alvast bedankt!

[tempelier]

Hij voldoet aan de eisen, die heb je toch wel?

[TD]

Bepaal eens de beelden van (1,1,0) en (2,2,0) en merk op dat (2,2,0) = 2*(1,1,0); dus?

[Klaas99]

In mijn cursus staat dat het niet lineair is?

[TD]

Klopt...

[Klaas99]

ik begrijp het wel niet...

[TD]

Bepaal eens de beelden van (1,1,0) en (2,2,0) en merk op dat (2,2,0) = 2*(1,1,0); dus?

Heb je dit al gedaan? Je reageerde er niet op... Laat eens zien.

[Klaas99]

het klinkt misschien dom maar ik begrijp niet goed hoe of waarom ik het beeld moet bepalen. Ik bepaal altijd of de afbeelding al dan niet lineair is mbv matrices. kan dat hier ook of is makkelijker/beter adhv het beeld?

[TD]

Dan moet je eerst je theorie er terug bijnemen en (be)studeren wat een lineaire afbeelding is en hoe dat werkt.

Je zegt dat je niet weet waarom je het beeld moet bepalen, wat is de definitie van een lineaire afbeelding?

Als je wel weet hoe je dat moet doen, bepaal dan eens de beelden van de twee vectoren die ik voorstelde.

[TD]

Een afbeelding \(f:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R^m}\) is lineair als:

1. \(\forall\,\vec x, \vec y \in \mathbb{R^n} \;:\; f(\vec x +\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y) \)
2. \(\forall\,\vec x \in \mathbb{R^n},\,\forall\,\lambda\in \mathbb{R} \;:\; f(\lambda\vec x)=\lambda f(\vec x)\)

Een gevolg hiervan, en dus in het bijzonder, is dat de nulvector sowieso op de nulvector wordt afgebeeld.

Je onthoudt (en begrijpt) deze voorwaarden best als:
(1) het beeld van een som, is de som van de beelden;
(2) het beeld van een veelvoud, is dat veelvoud van het beeld.

Als je vermoedt dat een afbeelding lineair is, kan je dat proberen na te gaan door te controleren of (1) en (2) gelden. Niet met een voorbeeld, maar in het algemeen: het moet immers gelden voor alle (...).

Als je vermoedt dat een afbeelding niet lineair is, volstaat het om één tegenvoorbeeld te vinden: twee vectoren waarvoor (1) niet geldt of een vector en een veelvoud waarvoor (2) niet geldt; mijn suggestie helpt voor dat tweede. Als je gelukt hebt, is het beeld van de nulvector niet de nulvector en heb je onmiddellijk het besluit, maar dat is in jouw voorbeeld niet het geval.

[Klaas99]

ik vermoed dat ik onvoldoende basiskennis heb om hier inzicht op te krijgen... ik ga het onderwerp dus eerst beter bestuderen en kom dan terug op de oefeningen. bedankt voor de hulp!