Vierhoek bepalen

[tomboo]

Beste mensen,

Ik probeer momenteel het volgende probleem op te lossen. Helaas kom ik er na verschillende pogingen niet uit. Het gaat om een vierhoek waarvan de zijde bekend zijn en er een relatie is tussen de hoek van de onderste en bovenste zijde van de vierhoek hierbij ∠α genoemd.

Hierbij is:
∠a + ∠d + ∠α = 180
∠b + ∠c - ∠α = 180

Een van de hoeken zou hierbij dus genoeg moeten zijn om de rest te berekenen, echter loop ik hier vast.

Ik heb geprobeerd een vergelijking op de x-as op te stellen en hier de vergelijking op de y-as in te sublimeren maar hier hou ik teveel variabelen over om een hoek te bepalen uit ∠α

Iemand die mij de goede richting op kan sturen?

alvast bedankt!

[Xilvo]

Hierbij is:
∠a + ∠d + ∠α = 180
∠b + ∠c - ∠α = 180

Ik neem aan dat de stippellijn evenwijdig is aan de onderste zijde?

Dan gelden die relaties hierboven altijd!

Er valt dus weinig op te lossen.

[RedCat]

Leg de vierhoek in een assenstelsel met punt D = oorsprong en DC op de positieve x-as.
Noem hoek CDA = delta
Dan is

\(A = (AD \cdot \cos \delta, \;\; AD \cdot \sin \delta)\)

\(B = (AD \cdot \cos \delta + AB \cdot \cos \alpha, \;\; AD \cdot \sin \delta - AB \cdot \sin \alpha)\)

(alpha positief gezien)
Punt B moet op de cirkel met middelpunt C en straal BC liggen.
Vul punt B daarom in in de cirkelvergelijking van die cirkel, en los daaruit hoek delta op.

[tomboo]

Ik neem aan dat de stippellijn evenwijdig is aan de onderste zijde?

Dan gelden die relaties hierboven altijd!

Er valt dus weinig op te lossen.

Ja, de stippellijn loopt parallel, dus inderdaad een relatie die altijd van toepassing is.

De condities zijn overigens:
0 < ∠c < 180°
0 < ∠d < 180°

[tomboo]

Leg de vierhoek in een assenstelsel met punt D = oorsprong en DC op de positieve x-as.
Noem hoek CDA = delta
Dan is

\(A = (AD \cdot \cos \delta, \;\; AD \cdot \sin \delta)\)

\(B = (AD \cdot \cos \delta + AB \cdot \cos \alpha, \;\; AD \cdot \sin \delta - AB \cdot \sin \alpha)\)

(alpha positief gezien)
Punt B moet op de cirkel met middelpunt C en straal BC liggen.
Vul punt B daarom in in de cirkelvergelijking van die cirkel, en los daaruit hoek delta op.

Bedankt voor de tip, ik ga er is goed naaar kijken..

[tempelier]

Xilvo heeft gelijk ook is zijn gelijk gemakkelijk aan te tonen.

Neem A=90
D=C=60
Dan voldoet dat.

Neem A=90
D=C=70
Voldoet ook.

Kortom er zijn oneindig veel mogelijkheden.

Vermoedelijk zijn er wat gegevens zoek geraakt.

[tomboo]

Ik kom tot de volgende vergelijking:

\(
r^2=(x-a)^2+(y-b)^2 \)

\(
a=cd, b=0, \)

\(
ad^2=(ad\cdot\cos\delta+ab\cdot\cos\alpha-cd) ^2+(ad\cdot\sin\delta+ab\cdot\sin\alpha) ^2\)

Dit is vergelijkbaar met het resultaat van mijn vorige pogingen. Echter was hier het probleem altijd dat ik deze niet vereenvoudigd kreeg. Ik heb geprobeerd het om te schrijven maar na vele pogingen is het niet gelukt om dit te schrijven als functie van delta. Zie ik een belangrijke stap over het hoofd?

[tomboo]

Xilvo heeft gelijk ook is zijn gelijk gemakkelijk aan te tonen.

Neem A=90
D=C=60
Dan voldoet dat.

Neem A=90
D=C=70
Voldoet ook.

Kortom er zijn oneindig veel mogelijkheden.

Vermoedelijk zijn er wat gegevens zoek geraakt.

Ik snap niet helemaal wat je bedoeld?

Alfa is bekend en we hebben dus twee onbekende met een onderling verband doordat de lengte van de zijdes allemaal bekend zijn. In jouw voorbeeld zouden de lengtes van de zijden veranderen afhankelijk van de hoeken.

Mijn vraag was dan ook hoe ik het beste een functie aan de hand van een constante lengte van de zijdes een functie van alfa kan maken.

Ik hoop dat dit mijn probleem verduidelijkt.

[tempelier]

De vorm van een vierhoek ligt pas vast als er driehoeken bekend zijn.
Hier heb je zelfs niet een waarde.

[RedCat]

\( r^2=(x-a)^2+(y-b)^2\)

\( a=cd, b=0 \)

\( ad^2=(ad\cdot\cos\delta+ab\cdot\cos\alpha-cd) ^2+(ad\cdot\sin\delta+ab\cdot\sin\alpha) ^2\)

Twee opmerkingen:
[1] De straal van de cirkel is niet ad maar bc.
[2] Je mag alpha negatief stellen, maar in de meetkunde werken we doorgaans met positieve hoeken.
Bovenstaande formule wordt dan met positieve alpha:

\( bc^2=(ad\cdot\cos\delta+ab\cdot\cos\alpha-cd) ^2+(ad\cdot\sin\delta-ab\cdot\sin\alpha) ^2\)

ab, alpha en cd zijn bekende constanten, vat voor het overzicht de constante termen in bovenstaande vergelijking samen:
Stel

\(p = ab\cdot\cos\alpha-cd\)

\(q = ab\cdot\sin\alpha\)

dan houden we over:

\( bc^2=(ad\cdot\cos\delta+p) ^2+(ad\cdot\sin\delta-q) ^2\)

Werk de 2 kwadraten in het rechter lid uit.
Kan je deze 2 termen in het resultaat daarvan samenvatten/vereenvoudigen ?:

\(ad^2 \cos^2 \delta + ad^2 \sin^2 \delta\)

[CoenCo]

Ander truukje proberen?

Teken de lijnstukken in een andere volgorde,
bepaal L (cosinusregel)
bepaal D1
bepaal D2
D=D1+D2

Eventueel op dezelfde wijze herhalen voor hoek C.

[tomboo]

Iedereen bedankt voor de input! Heeft me wel wat inzichten gegeven. En ik ben er inmiddels bijna.

Werk de 2 kwadraten in het rechter lid uit.
Kan je deze 2 termen in het resultaat daarvan samenvatten/vereenvoudigen ?:

\(ad^2 \cos^2 \delta + ad^2 \sin^2 \delta\)

Ik ben verder gegaan met dit voorzetje:

Er komen waarden uit die kloppen (geverifeerd door het figuur in een technisch teken programma te tekenen en de hoeken te meten) echter kwam ik erachter dat dit niet helemaal de waarden zijn die ik zocht al zijn ze wel werkbaar.

Zo kwam ik erachter dat mijn invoer alfa geinverteerd is, hierdoor moet ik negatieve waarden invullen om de juiste waarden eruit te laten rollen in mijn tekening. Daarnaast is uitkomst delta niet gelijk aan ∠d maar 180 - ∠d

Dit is prima werkbaar te maken door wat te prutsen in de vergelijking, maar kan de fout in mijn gemaakte berekeningen zo niet vinden. Iemand een idee waar ik de mist in ben gegaan?

[tomboo]

Ander truukje proberen?
Screen Shot 2020-01-31 at 21.45.36.png
Teken de lijnstukken in een andere volgorde,
bepaal L (cosinusregel)
bepaal D1
bepaal D2
D=D1+D2

Eventueel op dezelfde wijze herhalen voor hoek C.

Intresante aanpak, ga hier morgen is voor zitten.

[RedCat]

In je oplossing is R positief, maar die moet negatief zijn omdat p negatief is:

\(R=\text{sgn}(p)\sqrt{p^2+q^2}=-\sqrt{p^2+q^2}\)

(zie https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... and_cosine)

Alternatieve uitwerking:
definieer

\(r = \frac{bc^2-ad^2-p^2-q^2}{2\cdot ad}\)

dan hebben we

\(r = p \cos( \delta) - q \sin (\delta)\)

\(q \sin( \delta) + r = p \cos (\delta) \)

\((q \sin( \delta) + r)^2 = (p \cos (\delta))^2 \)

\((q \sin( \delta) + r)^2 = p^2(1-\sin^2(\delta)) \)

en dit is een tweedegraadsvergelijking waaruit je sin(delta) kan oplossen.

De 2 oplossingen leveren deze 2 vierhoeken:
(voor cd=28, ad=12, ab=19, bc=8 en alpha=asin(3.0/19.0))



Jij zoekt waarschijnlijk alleen de oplossing waarbij sin(delta) en cos(delta) beide positief zijn.


PS:
Kijk zeker ook naar de truuk van CoenCo, die geeft een elegante oplossing met aanzienlijk minder rekenwerk.

[Xilvo]

Het was me niet duidelijk dat met "en er een relatie is tussen de hoek van de onderste en bovenste zijde van de vierhoek hierbij ∠α genoemd." bedoeld werd dat die hoek ook een gegeven was, vast lag.

In dat geval is het een oplosbaar probleem; de twee gegeven relaties dragen niets bij, gelden altijd.