Galoistheorie

[Professor Puntje]

De Mathologer geeft in zijn video een aantal opdrachten aan zijn kijkers, waarvan ik hier een paar zal maken. Als eerste: gegeven de derdegraadsvergelijking x³ + px + q = 0. Leid de voorwaarden af waaronder er 1, 2 of 3 reële oplossingen bestaan uitgedrukt in p en q.

[Professor Puntje]

Het is me (in klad) gelukt, maar het beslaat nu wel meer dan 5 A4'tjes aan afleidingen. Ik betwijfel of daar hier iemand in geïnteresseerd is...

[Professor Puntje]

OK - laten we de afleiding van de formule voor de oplossingen van x³ + px + q = 0 hier over doen. De video geeft in grote lijnen al aan hoe dat gaat, maar ik maak die afleiding hier ter oefening graag ook nog eens zelf. We zoeken dus oplossingen voor onderstaande vergelijking:

\(\)

\( x^3 + \mathrm{p} x + \mathrm{q} = 0 \,\,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

Voor alle u en v geldt:

\(\)

\( (u + v)^3 = u^3 + 3 u^2 v + 3u v^2 + v^3 \)

\(\)

\( (u + v)^3 - u^3 - 3 u^2 v - 3u v^2 - v^3 = 0 \)

\(\)

\( (u + v)^3 - u^3 - 3 u v (u + v) - v^3 = 0 \)

\(\)

\( (u + v)^3 - 3 u v (u + v) - (u^3 + v^3) = 0 \)

\(\)

Dus als we u en v kunnen vinden zodat:

\(\)

\( - 3 u v = \mathrm{p} \,\,\, \& \,\,\, - (u^3 + v^3) = \mathrm{q} \,\,\,\,\,\, (2) \)

\(\)

dan is:

\(\)

\( x = u + v \,\,\,\,\,\, (3) \)

\(\)

een oplossing van vergelijking (1)

Vanuit (2) vinden we de gezochte u en v als volgt:

\(\)

\( - 3 u v = \mathrm{p} \,\,\, \& \,\,\, - (u^3 + v^3) = \mathrm{q} \)

\(\)

\( u v = - \frac{\mathrm{p}}{3} \,\,\, \& \,\,\, u^3 + v^3 = - \mathrm{q} \)

\(\)

\( u^3 v^3 = - (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 \,\,\, \& \,\,\, u^3 v^3 + (v^3)^2 = - \mathrm{q} v^3 \)

\(\)

\( - (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + (v^3)^2 = - \mathrm{q} v^3 \)

\(\)

\( (v^3)^2 + \mathrm{q} v^3 = (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 \)

\(\)

\( (v^3)^2 + 2 \, \frac{\mathrm{q}}{2} v^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2 = (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2 \)

\(\)

\( (v^3 + \frac{\mathrm{q}}{2})^2 = (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2 \)

\(\)

\( v^3 + \frac{\mathrm{q}}{2} = \pm \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \)

\(\)

\( v^3 = -\frac{\mathrm{q}}{2} \pm \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \,\,\,\,\,\, (4) \)

\(\)

Zodat wegens (2) ook geldt:

\(\)

\( - \left (u^3 - \frac{\mathrm{q}}{2} \pm \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \right ) = \mathrm{q} \)

\(\)

\( u^3 - \frac{\mathrm{q}}{2} \pm \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} = - \mathrm{q} \)

\(\)

\( u^3 \pm \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} = - \frac{\mathrm{q}}{2} \)

\(\)

\( u^3 = - \frac{\mathrm{q}}{2} \mp \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \,\,\,\,\,\, (5) \)

\(\)

Combinatie van (3), (4) en (5) geeft:

\(\)

\( x = \sqrt[3]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} \mp \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } + \sqrt[3]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} \pm \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} \)

\(\)

\( x = \sqrt[3]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } + \sqrt[3]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} \,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

Bij deze afleiding hebben we niet gelet op eventuele complexe wortels en evenmin de opeenvolgende stappen gecontroleerd op logische equivalentie. We moeten dus nog nagaan of en zo ja wanneer de gevonden oplossing precies geldig is.

(Wordt vervolgd.)

[tempelier]

Het is me (in klad) gelukt, maar het beslaat nu wel meer dan 5 A4'tjes aan afleidingen. Ik betwijfel of daar hier iemand in geïnteresseerd is...

Speel het via de discriminant, die is wat algemener.

[Professor Puntje]

Je bedoelt \( (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2 \) ? Die uitdrukking heb ik ook gebruikt. Maar mogelijk kom ik via verder onderzoek van de oplossingsformule ook wel op het aantal reële oplossingen uit.

[tempelier]

Je bedoelt \( (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2 \) ? Die uitdrukking heb ik ook gebruikt. Maar mogelijk kom ik via verder onderzoek van de oplossingsformule ook wel op het aantal reële oplossingen uit.

Die is voor de derde graad.

Maar hij is afgeleid voor de n^de graad en tevens is afgeleid wanneer er dan complexe oplossingen zijn.

PS.
Volgens mij wordt je probleem behandeld in Wijdenes- Middel Algebra.
Het vloeit voort uit de keuze die voor de derde-machts wortels in de formule moeten worden gemaakt.
(anders zouden er negen oplossingen zijn)
Maar mischien vind je het leuker het op te lossen zonder bij Wijdenes te spieken.

[Professor Puntje]

Wijdenes heb ik hier inderdaad in de kast staan. Maar ik leer er het meeste van om zaken zelf te bewijzen. Het probleem waar ik nu mee zit is dat er door die complexe wortels een oerwoud aan mogelijkheden ontstaat. Moet je dat allemaal uit gaan splitsen?

[tempelier]

Nee.
Welke waarde voor de derdemachtswortel je moet nemen kan uit de afleiding worden gehaald.

[Professor Puntje]

Juist - er kunnen sowieso niet meer dan drie geldige oplossingen zijn. Maar ik zoek nog een manier om dat allemaal netjes af te leiden zonder alle opties voor de wortels stuk voor stuk na te hoeven lopen. Wellicht is een compacte notatie mogelijk met behulp van eenheidswortels. Als r één van de waarden van de complexe n-de-machtswortel \( \sqrt[n]{\mathrm{s}} \) van s is, dan zijn alle n de waarden van die complexe wortel te schijven als \( \mathrm{r} \cdot (\zeta_n)^k \) waarin \( \zeta_n \) de primitieve n-de-machtseenheidswortel is en waarbij \( \, k \in \mathbb{Z} \).

[Professor Puntje]

Dit is de eerder gevonden formule voor oplossingen van x³ + px + q = 0 waarvan we nu de bruikbaarheid onderzoeken:

\(\)

\( x = \sqrt[3]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } + \sqrt[3]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} \,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

We veronderstellen dat voor alle wortels de hoofdwaarde is genomen en dat ς de hoofdwaarde van de 3-de machtseenheidswortel is. Hetgeen de aldus aangepaste formule geeft:

\(\)

\( X = \zeta^k \sqrt[\underline{3}]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } + \zeta^l \sqrt[\underline{3}]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} \,\,\,\,\,\, (6^*) \)

\(\)

Hierin is X een functie van p, q, k en l. Voor k = 0, 1, 2 en l = 0, 1, 2 worden dan alle 3-de machtswortels doorlopen. Voor welke waarden van k en l we met X = X(p,q,k,l) een oplossing van x³ + px + q = 0 te pakken hebben zal (hopelijk) spoedig blijken. Het eveneens toelaten van de ± waarden van 2-de machtswortels in beide termen van (6*) geeft soms uitkomsten voor X die geen oplossingen van x³ + px + q = 0 zijn, dus dat doen we niet. (Te controleren voor p = -15 en q = -126.)

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Schrijf voor het gemak:

\(\)

\( U = \zeta^k \sqrt[\underline{3}]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \,\,\,\,\,\, (7) \)

\(\)

\( V = \zeta^l \sqrt[\underline{3}]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} \,\,\,\,\,\, (8) \)

\(\)

Dan hebben we:

\(\)

\( U^3 = \left ( \zeta^k \sqrt[\underline{3}]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \right )^3 \)

\(\)

\( U^3 = - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \)

\(\)

\(\)

\( V^3 = \left ( \zeta^l \sqrt[\underline{3}]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} \right )^3 \)

\(\)

\( V^3 = -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \)

\(\)

\(\)

\( X = U + V \)

\(\)

\( X^3 = U^3 + 3U^2V + 3UV^2 + V^3 \)

\(\)

\( X^3 = U^3 + 3UV \cdot (U +V) + V^3 \)

\(\)

\( X^3 = (U^3 + V^3) + 3UV \cdot (U +V) \)

\(\)

\( X^3 = (U^3 + V^3) + 3UV \cdot X \)

\(\)

\( X^3 + \mathrm{p} X + \mathrm{q} = (U^3 + V^3) + 3UV \cdot X + \mathrm{p} X + \mathrm{q} \)

\(\)

\( X^3 + \mathrm{p} X + \mathrm{q} = (3UV + \mathrm{p}) X + ((U^3 + V^3) + \mathrm{q}) \)

\(\)

Maar:

\(\)

\( U^3 + V^3= \left (- \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \, \right ) + \left (-\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \, \right ) \)

\(\)

\( U^3 + V^3= - \mathrm{q} \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( X^3 + \mathrm{p} X + \mathrm{q} = (3UV + \mathrm{p}) X \,\,\,\,\,\, (9) \)

\(\)

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

\( (3 U V)^3 = 3^3 U^3 V^3 \)

\(\)

\( (3 U V)^3 = 3^3 \cdot \left ( - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \, \right ) \cdot \left ( -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \, \right ) \)

\(\)

\( (3 U V)^3 = 3^3 \left [ \left (- \frac{\mathrm{q}}{2} \right )^2 - \left ( \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} \, \right )^2 \right ] \)

\(\)

\( (3 U V)^3 = 3^3 \left [ \left (\frac{\mathrm{q}}{2} \right )^2 - \left ( (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2 \right ) \right ] \)

\(\)

\( (3 U V)^3 = 3^3 \left ( - (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 \right ) \)

\(\)

\( (3 U V)^3 = - \mathrm{p}^3 \,\,\,\,\,\, (10) \)

\(\)

(Wordt vervolgd.)

[ukster]

cubic equation.pdf

(77.08 KiB) 81 keer gedownload

[Professor Puntje]

Dank ukster! Ik maak eerst even mijn lopende bewijs af, en dan bestudeer ik je pdf. Waar komt die vandaan?

[ukster]

Wolfram alpha query uitgevoerd in Mathematica