Galoistheorie
- Berichten: 7.463
Re: Galoistheorie
Op grond van (10) zijn \( \, 3 U V \, \) en \( \, -p \, \) beide 3-de machtswortels van een zelfde complex getal, en dus kunnen ze hoogstens in een factor \( \, \zeta^m \, \) (waarin m gelijk is aan 0, 1 of 2) verschillen:
\(\)
\( 3 U V = - \zeta^m \cdot \mathrm{p} \,\,\,\,\,\, (11) \)
\(\)
Omdat \( \, U \, \) de factor \( \, \zeta^k \, \) bevat en \( \, V \, \) de factor \( \, \zeta^l \, \) bevat kunnen we k en l uit 0, 1 en 2 steeds zodanig kiezen dat m=0. Wegens (9) en (11) levert formule (6*) bijgevolg geldige oplossingen voor x3 + px + q = 0 op wanneer k en l zo zijn gekozen dat m gelijk aan nul wordt. Dus vinden we met formule (6*) geldige oplossingen wanneer k en l voldoen aan:
\(\)
\( 3 U V = - \zeta^0 \cdot \mathrm{p} \)
\(\)
\( 3 U V = - \mathrm{p} \)
\(\)
\( 3 \cdot \zeta^k \sqrt[\underline{3}]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \cdot \zeta^l \sqrt[\underline{3}]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} = - \mathrm{p} \)
\(\)
\( \zeta^k \sqrt[\underline{3}]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \cdot \zeta^l \sqrt[\underline{3}]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} = - \frac{\mathrm{p}}{3} \,\,\,\,\,\, (12) \)
\(\)
\(\)
Voor formule (6) betekent dit dat als we de hoofdwaarden voor de vierkantswortels nemen we geldige oplossingen voor x3 + px + q = 0 verkrijgen wanneer we de twee meerwaardige complexe 3-de machtswortels zo kiezen dat:
\(\)
\( \sqrt[3]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \cdot \sqrt[3]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} = - \frac{\mathrm{p}}{3} \,\,\,\,\,\, (13) \)
\(\)
- Berichten: 7.463
Re: Galoistheorie
De pdf is zeer beknopt wat betreft de uitleg van de stappen in de afleiding. De formules zelf zijn voor mij ook het probleem niet, die kan ik ook zelf in de boeken of op internet wel vinden. Het gaat mij erom te begrijpen waarom die formules gelden en onder welke voorwaarden dat het geval is. Verder heb ik nog maar weinig ervaring met de (meerwaardige) wortels van complexe getallen, en dat ben ik nu gelijk ook maar even aan het bijspijkeren. Ik leer zulke zaken het beste door ze zelf te doen.
- Berichten: 7.463
Re: Galoistheorie
In het boek Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective van Jörg Bewersdorff lees ik:
Ik probeer die definitie te doorgronden maar dat is niet eenvoudig!Definition 9.2. For a polynomial equation without multiple solutions whose coefficients lie in a field K, the Galois group (over the field K) is the set of all permutations σ in the symmetric group Sn that permute the indices 1,..., n of the solutions x1,..., xn in such a way that for every polynomial h(X1,..., Xn) with coefficients in K and h(x1,..., xn) = 0, one has h(xσ(1),..., xσ(n)) = 0.
-
- Berichten: 66
Re: Galoistheorie
Het wordt begrijpelijker als je weet wat een lichaamsuitbreiding is. Neem bijvoorbeeld het lichaam van de reële getallen. Daarin het polynoom x^2 +1. Neem de polynoomring van R en ga daarin rekenen modulo dat polynoom. Dan zie je dat je de complexe getallen gemaakt heb. je kunt x=i nemen of x=-i, dat werkt allebei. De symmetriegroep is nu de groep die i en -i verwisselt. De groep heeft twee elementen, een die ze verwisselt een die ze op hun plaats laat.
- Berichten: 7.463
Re: Galoistheorie
Die lichaamsuitbreidingen worden in het boek ook besproken.
Eens zien of ik de definitie nu kan doorgronden door haar in stukjes te knippen, en dan in mijn eigen woorden te beschrijven wat ik daarin lees:
Eens zien of ik de definitie nu kan doorgronden door haar in stukjes te knippen, en dan in mijn eigen woorden te beschrijven wat ik daarin lees:
De definitie heeft betrekking op vergelijkingen p(x) = 0 van de vorm anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0 waarbij alle coëfficiënten ak afkomstig zijn uit een lichaam K en alle n oplossingen xk van de vergelijking van elkaar verschillend zijn.Definition 9.2. For a polynomial equation without multiple solutions whose coefficients lie in a field K,
Bij ieder van de boven genoemde vergelijkingen p(x) = 0 wordt een bijbehorende deelgroep van de groep van permutaties Sn gevormd die bestaat uit precies die permutaties σ die aan de onderstaande voorwaarde voldoen. Die zo gevormde deelgroep van Sn noemen we de galoisgroep van p over het lichaam K.the Galois group (over the field K) is the set of all permutations σ in the symmetric group Sn
Vorm nu de verzameling VK,n van alle polynomen h met n variabelen X1, X2, ... , Xn waarbij de coëfficiënten van die polynomen afkomstig zijn uit het lichaam K. De voorwaarde waaraan de permutaties σ in de galoisgroep dan moeten voldoen is dan dat ze zodanig moeten zijn dat voor iedere polynoom h uit VK,n geldt dat:that permute the indices 1,..., n of the solutions x1,..., xn in such a way that for every polynomial h(X1,..., Xn) with coefficients in K and h(x1,..., xn) = 0, one has h(xσ(1),..., xσ(n)) = 0.
\( \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{h}(x_1 , x_2 , ... , x_n) = 0 \Rightarrow \mathrm{h}(x_{\sigma(1)} , x_{\sigma(2)} , ... , x_{\sigma(n)} ) = 0. \)
Waarin x1, x2, ... , xn de oplossingen van onze oorspronkelijke vergelijking p(x) = 0 zijn.- Berichten: 7.463
Re: Galoistheorie
Jammer genoeg ben er daarmee nog niet want in de moderne algebra werkt men met een meer abstracte definitie van de galoisgroep. Het eerder geciteerde boek heeft het daar aan het eind ook nog wel even over, maar dat laatste deel van het boek vind ik lastig te volgen. Eens zien of er op YouTube een heldere uitleg van de galoisgroep in de moderne opvatting te vinden is...
- Berichten: 7.463
Re: Galoistheorie
Dit is alvast een verhelderend verhaal: https://www.mathpages.com/home/kmath290/kmath290.htm
- Berichten: 7.463
Re: Galoistheorie
Ik zit nu deze serie te kijken:
Ziet er goed uit. Voor het Galois gebeuren is 6.1 en verder het interessantste.
Ziet er goed uit. Voor het Galois gebeuren is 6.1 en verder het interessantste.