spacetime interval

[flappelap]

x^2 - ct^2 is 0 op de lichtkegels en de overgang tussen positief en negatief is ook daar. Maar dat zelfde geldt toch ook voor x-ct ? dus er moet een goede reden zijn waarom we SQRT(x^2 + y^2 + z^2 - ct^2) nemen en niet bv
SQRT(x^2 + y^2 + z^2) - ct of in alleen x richting x-ct. Dat je voor de totale lengte SQRT(x^2 + y^2 + z^2) is geen enkele discussie over natuurlijk. Dus wat is die reden?

Ga maar na dat jouw voorgestelde combinaties niet invariant zijn onder Lorentz transformaties.

Dito voor rotaties en de stelling van Pythagoras: gegeven de rotatie-matrices, waarom is alleen een combinatie van kwadraten invariant? Vanwege het feit dat de getransponeerde matrices gelijk zijn aan hun inverse. Als je dan een coordinatentransformatie uitvoert, is deze combinatie invariant.

[HansH]

@flappelap:
invariant zijn onder Lorentz transformaties betekent feitelijk toch hetzelfde dat je een waarde hebt die voor elke waarnemer hetzelfde is en dat is wat je moet hebben om onderling tussen waarnemers iets te kunnen vergelijken? wil je daarmee dan aangeven dat er dan maar 1 mogelijkheid werkt en dat is het ruimtetijdinterval SQRT(x^2 + y^2 + z^2 - ct^2) ?
dus dat je op die manier aan komt?

[Gast]

invariant zijn onder Lorentz transformaties betekent feitelijk toch hetzelfde dat je een waarde hebt die voor elke waarnemer hetzelfde is 

Juist.

[flappelap]

@flappelap:
invariant zijn onder Lorentz transformaties betekent feitelijk toch hetzelfde dat je een waarde hebt die voor elke waarnemer hetzelfde is en dat is wat je moet hebben om onderling tussen waarnemers iets te kunnen vergelijken? wil je daarmee dan aangeven dat er dan maar 1 mogelijkheid werkt en dat is het ruimtetijdinterval SQRT(x^2 + y^2 + z^2 - ct^2) ?
dus dat je op die manier aan komt?

Ja.

Lorentz-transformaties kun je opvatten als ("analytisch voortgezette") rotaties. Dus een rotatie in de Euclidische ruimte is wiskundig vergelijkbaar met een Lorentztransformatie in de ruimtetijd.

Daarom vergelijk ik Lorentztransformaties graag met rotaties in de ruimte (of vlak). Stel je voor dat je middels lineaire algebra hebt uitgevogeld hoe een rotatie je basisvectoren verandert. Dan krijg je in het vlak één enkele rotatie (in de ruimte zijn het er 3), geparametriseerd met 1 hoek.

Vervolgens vraag je je af: welke combinatie van coördinaten is nu behouden onder zo'n rotatie? Wel, je kunt van alles proberen:

\(x^2 - y^2\)

,

\(\sqrt{x^2} - y\)

,

\(xy\)

,

\(x - y\)

,

\(x + y\)

, enzovoort. Maar je zult al gauw merken, na het expliciet roteren van deze uitdrukkingen, dat allereerst x en y op gelijke voet leven, dus ze zullen op dezelfde manier voorkomen in je invariante uitdrukking. Bovendien moeten ze kwadratisch voorkomen. Dat laatste volgt uit het feit dat de getransponeerde matrix voor onze rotatie gelijk is aan zijn inverse (dit noemen we "orthogonale transformaties").

Vervolgens is het een kwestie van uitproberen. Jij stapt heel gemakkelijk over de stelling van Pythagoras heen, maar ik denk dat je daar precies dezelfde vraag kunt stellen (even los van de middelbare school-bewijzen die je voor deze stelling kent). Waarom is bijvoorbeeld de uitdrukking

\(x^2 - y^2\)

niet invariant onder een ruimtelijke rotatie? En wat voor soort transformaties houden dit soort uitdrukkingen wel invariant? (hint: "Lorentz"-transformaties).

Uiteindelijk komt deze exercitie neer op het wiskundige verschil tussen de groepen SO(2) en SO(1,1). Of, in 4 dimensies: SO(1,3) en SO(4).

[flappelap]

Ik denk overigens dat je hier alleen intuïtie voor kweekt als je zelf uitdrukkingen probeert op te stellen en transformeert.

Als we een rotatiematrix aangeven met

\( R^i{}_j \)

dan transformeren de coördinaten van een punt \(\{x^i\} = \{x,y\}\) (excuus voor de verwarrende notatie; die is vrij standaard) als (Einsteins sommatieconventie)

\( x^i \rightarrow x^{'i} = R^i{}_j x^j \)

Nu kun je nagaan dat de uitdrukking

\( l^2 \equiv \delta_{ij}x^i x^j \)

invariant is. Want:

\( l^2 \rightarrow (l^2)' = \delta'_{ij} x^{'i} x^{'j} \)

Voor de check maak je gebruik van het feit dat de rotatiematrices orthogonaal zijn,

\( R^i{}_j R_i{}^k = \delta_j^k \)

Dus

\( (l^2)' = \delta'_{ij} x^{'i} x^{'j} = R_i{}^m R_j{}^n \delta_{mn} R^i{}_k R^j{}_l x^k x^l = R_i{}^m R^i{}_k R_j{}^n R^j{}_l \delta_{mn} x^k x^l \)

Vervolgens de orthogonaliteit gebruiken geeft

\( (l^2)' = \delta_{mn} \delta ^m_k \delta^n_l x^k x^l = \delta_{kl} x^k x^l = l^2 \)

Deze berekening gaat voor lorentztransformaties net zo, alleen vervang je de rotatiematrix dan door

\( \Lambda^{\mu}{}_{\nu} \)

Mocht je een bekend zijn met tensornotatie, dan zie je dat dit soort berekeningen een stuk eenvoudiger worden; je hoeft niet elke keer al die matrices voluit te schrijven.

[Gast]

Beetje laat, maar beter laat dan nooit .. right?

Maar, mocht je je hier nog dingen over afvragen, het minteken geeft eigenlijk simpelweg aan dat het om een hyperbolische geometrie gaat.

Vlakke (minkowski) ruimtetijd is niet Euclidisch. .. Wat dat betreft is een Loedel diagram een stuk makkelijker.

Een schuine zijde van een rechthoekige driehoek is hierin dan ook korter dan één van de andere zijden. De hyperbolische versie van de stelling van Pythagoras is dan ook a^2 - b^2 = c^2.

Dit is belangrijk voor bijvoorbeeld (invariante) eigentijd intervallen (proper time intervals), waarbij de hoeveelheid eigentijd van een kromme wereldlijn (acceleratie) tussen twee punten (events) altijd minder is dan de hoeveelheid van een rechte wereldlijn (constante snelheid) .. de "rechte ruimtetijd interval")) tussen diezelfde twee events.

(Ik moest hier ineens aan denken tijdens een .. conversatie.)

Als je dit niet helemaal begrijpen helpt dit filmpje vast: