HansH schreef: ↑vr 28 mei 2021, 23:23
flappelap schreef: ↑vr 28 mei 2021, 22:49
Ja, dat kun je doen, maar om te weten welke versnelling je daarvoor nodig hebt in elk ruimtetijdpunt, moet het zwaartekrachtsveld gegeven zijn. En die volgt uit de Einsteinvergelijkingen.
Wat jij wilt is vergelijkbaar met het transformeren naar (lokaal) vlakke coördinaten op, zeg, een bol. Gegeven de kromming van de bol kun je die coördinatentransformatie opschrijven.
In de ART wordt die kromming gegeven door de Einsteinvergelijkingen. Het equivalentieprincipe garandeert dan het bestaan van (lokaal) vlakke coördinaten (net zoals de aarde er voor ons plat uitziet).
maar voor een massa als de zon zal er toch nauwelijks verschil zijn tussen het zwaartekrachtsveld volgens newton en volgens de Einstein vergelijkingen. Dus de vraag is eigenlijk of de lichtbaan die je bv uitrekent mbt newton en alleen het equivalentieprincipe (wat dus de helft oplevert vergeleken met de ART) komt omdat je een deel verwaarloost door alleen het equivalentieprincipe te nemen of dat dat komt omdat je een significant ander zwaartekrachtsveld krijgt voor bv de zon? Dus als je gewoon newton gebruikt om het zwaartekrachtsveld in elk punt te berekenen en daarop dat idee toepast wat ik had beschreven hierboven. krijg je dan een totale lichtafbuiging van newton of 2x zo groot dus volgens de ART?
Nee. En de reden is nogal subtiel
Op z'n Newtons doe je het volgende: je rekent allereerst het zwaartekrachtsveld van de zon uit m.b.v. de Poisson-vergelijking (dat levert het welbekende zwaartekrachtsveld op dat je gewend bent), en plugt dit vervolgens in de tweede wet van Newton (F=ma) om het pad van een deeltje in dat zwaartekrachtsveld te bepalen.
Op z'n Einsteins reken je het zwaartekrachtsveld van de zon uit m.b.v. Einsteins veldvergelijkingen (dat levert de welbekende Schwarzschild oplossing op), en plugt dit vervolgens in de geodetenvergelijking om het pad van een deeltje in dat zwaartekrachtsveld te bepalen. Die geodetenvergelijking,
https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesics ... relativity
vervangt dus Newtons tweede wet. De Gamma-componenten
\(
\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}
\)
met in het algemeen 40 (!) componenten in totaal, noemen we de Christoffelsymbolen en vervangen die ene (!) Newtonse potentiaal.
Nu komt het: voor deeltjes die veel langzamer dan licht gaan (v/c<<1, de zgn. "niet-relativistische limiet") en zwaartekrachtsvelden die zwak zijn (GM/c^2R << 1) en bovendien tijdsonafhankelijk, geeft de alg.rel.theorie hetzelfde resultaat als Newton. Dit is een vereiste en noemen we de "Newtonse limiet". De rol van de niet-relativistische limiet v/c<<1 hierin is de volgende: de geodetenvergelijking vertelt je dat de kromming van het pad van een deeltje afhangt van de snelheid van het deeltje! In tegenstelling tot Newton vertelt Einstein je dus dat de afbuiging van een deeltje niet alleen afhangt van de positie, maar ook van de snelheid van het deeltje! En als we het over licht hebben, waarvoor v/c=1, kunnen we dit effect nu juist niet negeren. Het resultaat is, als je de berekening doet, dat een lichtstraal de ruimtelijke kromming weldegelijk voelt, ook al is het zwaartekrachtsveld "zwak". Oftewel: in de zwakke velden limiet (zoals de zon) zullen langzame deeltjes (v<<c) de ruimtelijke kromming vrijwel niet voelen, maar snelle deeltjes juist wel.
Zoals ik zei vervangen de 40 Christoffelsymbolen in de geodetenvergelijking de ene Newtonse zwaartekrachtsterm. Deze 40 Christoffelsymbolen worden uniek bepaald door de 10 componenten van de metriek en zijn afgeleiden. In de eerder genoemde Newtonse limiet blijft er van al die 40 Christoffelsymbolen uiteindelijk 1 enkele term over, en die term hangt weer alleen af van de 00-component van de metriek. Daarom speelt in de Newtonse limiet alleen de 00-component van de metriek een rol, en daarom reproduceert Einsteins equivalentieprincipe exact het Newtonse (Soldners) resultaat. Maar in het geval van een lichtstraal, waarbij v=c, komen er meer Christoffelsymbolen voor in de geotenvergelijking, die zullen afhangen van zowel g_00 als g_rr. En dat levert extra termen op die er in de Newtonse limiet niet zijn.
Kortom: de Newtonse limiet van de ART bestaat niet alleen uit "zwakke zwaartekracht", maar ook uit "langzame deeltjes t.o.v. de lichtsnelheid" (en tijdsonafhankelijke velden, maar die aanname doen we in beide gevallen). En daarom klopt je uitspraak niet
De details zijn echter wat lastiger 